Zentralblatt MATH

Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No:  024.30702
Autor:  Erdös, Pál
Title:  On divergence properties of the Lagrange interpolation parabolas. (In English)
Source:  Ann. of Math., II. Ser. 42, 309-315 (1941); corrections ibid. 44, 647-651 (1943).
Review:  Bezeichnet man mit x\alpha(n) die nach ihrer Größe geordneten Wurzeln des Tschebyscheffschen Polynomes n-ten Grades, so zeigt man zunächst xi(m)-xj(n) > n-3 für m \geq n. Setzt man x0 = \cos (p\pi/q), p\equiv q \equiv 1 (mod 2) so gibt es zwei Konstanten c1 und c2, so daß die Beziehungen maxi = 1,...,n |x0-xi(n)| > c1 n-1, |Tn(x0)| > c2 erfüllt sind. Ist lk(n)(x0) = Tn(x0)/T'n(x0) · (x0-xk) und wird die Summe sum' über alle xk(n), die |xk(n)-x0| > (ln n)- ½ genügen, erstreckt, so besteht die Relation sum'|lk(n) (x0)| < (ln n) ½. Aus 0 < xk(n) < xj(n) folgt |lk(n)(x0)| > {c4 \over j-k}; endlich zeigt man, daß

sum(2k-1,n) = 1 |lk(n)(x0)| > c6 ln n / ln\ln n

ist. Es ist jetzt möglich, eine stetige Funktion f(x) zu konstruieren, so daß für die Interpolationsparabel nach Lagrange (an den Stellen x1(n), x2(n),...,xn(n) Ln f(x) mit wachsendem n ––> +oo Ln(f(x0)) ––> oo wird. Ist jedoch x0 \ne \cos p\pi /q, p\equiv q \equiv 1 (mod 2), so gibt es für jede stetige Funktion f(x) eine Folge n1 < n2 < n3..., so daß Lni(f(x0)) ––> f(x0) geht. Der Beweis dieser Behauptung gelingt mit Hilfe des Hilfssatzes: Ist x0 \ne p/q , p\equiv q \equiv 1 (mod 2), dann hat die Ungleichung |x0-{2r-1 \over 2nk} | < {c14 \over n2k} eine unendliche Anzahl von Lösungen.
Reviewer:  F.Knoll (Wien)
Classif.:  * 41A05 Interpolation
                   33C25 Orthogonal polynomials and functions
Index Words:  Approximation of functions, orthogonal series developments

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