Zentralblatt MATH

Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No:  029.15202
Autor:  Chung, Kai Lai; Erdös, Pál
Title:  On the lower limit of sums of independent random variables. (In English)
Source:  Ann. Math., Princeton, II. Ser. 48, 1003-1013 (1947).
Review:  Als Gegenstück der von W. Feller neulich erreichten vollständigen Klärung des Satzes von iterierten Logarithmus, d. h. vom oberen Grenzwert der Summe Sn = sum\nu = 1n X\nu unabhängiger Zufallsveränderlichen X\nu für n ––> oo, wird folgender Satz bewiesen: Im Falle einer Alternative mit Pr(X\nu = 1) = p und Pr (X\nu = 0) = 1-p, sowie bei \psi(n) \uparrow oo und sum[n\psi(n)]-1 = oo ist

Pr [liminf (n^ 1/2 \psi(n)|Sn-np|) = 0] = 1.

Der Satz ist der bestmögliche insofern, als bei sum[n \psi(n)]-1 < oo die fragliche Wahrscheinlichkeit für quadratisch irrationale (nach Angabe der Verff. sogar für fast alle) p Null ist.
In Verallgemeinerung auf unabhängige X\nu mit bloß gemeinsamer Verteilungsfunktion, die einen nicht identisch verschwindenden absolut stetigen Teil, den Mittelwert Null, die Streuung Eins und ein endliches fünftes absolutes Moment besitzt, ergibt sich mit Hilfe einer asymptotischen Entwicklung von Cramér Pr liminf n^ 1/2 \psi(n)|Sn| = 0) = 1 bzw. 0, je nachdem sum[n \psi(n)]-1 = bzw. < oo.
Reviewer:  Szentmártony (Budapest)
Classif.:  * 60F05 Weak limit theorems
Index Words:  Probability theory

© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag

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