Extensiones Toeplitz Acotadas de Formas Hankel Acotadas Definidas en un Sistema de Scattering

Algebraico Discreto.

S. A. M. Marcantognini^{∗}  M. D. Morán^{†}

En 1.987, M. Cotlar y C. Sadosky, definieron las nociones de Sistema de Scattering Algebraico (SSA) y forma de Hankel en dicho sistema, (cfr. [C-S1], [C-S2], [C-S3]), siendo el primero una generalización del Sistema de Scattering de Adamjan-Arov (cfr. [A-Aro]), así como también del Sistema de Lax-Phillips (cfr. [L-P]).

En este trabajo parametrizamos las extensiones Toeplitz acotadas de una forma Hankel acotada definida en un SSA, por una bola de funciones analíticas contractivas a valores operadores entre dos espacios de Hilbert. Este resultado proviene del hecho que toda forma Hankel acotada definida en un SSA genera una isometría en un espacio de Hilbert y que toda extensión Toeplitz acotada de la forma antes mencionada genera una extensión unitaria minimal de dicha isometría. Finalmente damos otra demostración del teorema de levantamiento del conmutante de Foias-Frazho (cfr. [F-F1], [F-F2]).

Queremos reseñar que los resultados que aquí se obtienen se pueden generalizar para formas de Hankel acotadas definidas en SSA biparamétricos (cfr. [C-S3]).

Definición. Un Sistema de Scattering Algebraico Discreto (SSA) es una cuaterna [V, W_{1}, W_{2}, Υ] , donde: V es un espacio vectorial, Υ : V → V es un isomorfismo algebraico y W_{1}, W_{2} son dos subespacios vectoriales de V, tales que Υ (W_{1}) ⊆ W_{1} y Υ^{−1} (W_{2}) ⊆ W_{2}.

Veamos algunos ejemplos de SSA:

1. Sean V el espacio de los polinomios en 𝕋 (como es usual, 𝕋 denotará la circunferencia unitaria), W_{1} los polinomios analíticos en 𝕋, W_{2} los polinomios antianalíticos en 𝕋, Υ : V → V, [Υ (P)] (z) = zP (z), z ∈ 𝕋. Claramente [V, W_{1}, W_{2}, Υ] es un SSA.

∗Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas y Universidad Simón Bolívar

†Universidad Central de Venezuela

2. Consideremos a V como L^{2} (ℝ), W_{1} = {f ∈ L^{2} (ℝ) : f̂(x) = 0 si x ≤ 0},

W_{2} = {f ∈ L^{2} (ℝ) : f̂(x) = 0 si x > 0}, donde f̂ es la transformada de Fourier de f, y (Υf) (x) = f(x) exp(ix). Entonces [V, W_{1}, W_{2}, Υ] es un SSA.

Para i = 1, 2, sea V_{i} el mínimo espacio vectorial que contiene a Υ^{n} (W_{i}) para todo n ∈ ℤ, (nótese que Υ (V_{i}) = V_{i}); consideremos B_{i} : V ×V → ℂ sesquilineal positiva, que verifica

B_{i} (Υf, Υg) = B_{i} (f, g) para cada (f, g) ∈ V × V.

Dada B^{0} : W_{1} × W_{2} → ℂ una forma sesquilineal, decimos que es una forma Hankel definida en el SSA [V, W_{1}, W_{2}, Υ] si, y sólo si

B^{0} (Υf, g) = B^{0} (f, Υ^{−1}g) para cada (f, g) ∈ W_{1} × W_{2},

y decimos que B^{0} está acotada por (B_{1}, B_{2}) y lo denotamos por B^{0} ≺ (B_{1}, B_{2}) si, y sólo si

|B^{0} (f, g)| ≤ B1^{\frac{1}{2}} (f, f) B2^{\frac{1}{2}} (g, g) para cada (f, g) ∈ W_{1} × W_{2}.

Nótese que si B^{0} es una forma Hankel definida en el SSA [V, W_{1}, W_{2}, Υ], B^{0} ≺ (B_{1}, B_{2}) y definimos E_{0} = W_{1} × W_{2}, y para cada (f_{1}, f_{2}), (g_{1}, g_{2}) ∈ E_{0}

C [(f_{1}, f_{2}) , (g_{1}, g_{2})] = B_{1} (f_{1}, g_{1}) + B^{0} (f_{1}, g_{2}) + \overline{B^{0} (g_{1}, f_{2})} + B_{2} (f_{2}, g_{2}) ,

resulta que C es una forma sesquilineal positiva y que si Υ′ = ( \begin{matrix}Υ & 0 \\ 0 & Υ \end{matrix} )

definida en D_{Υ′} = W_{1} × Υ^{−1}W_{2} y con rango R_{Υ′} = ΥW_{1} × W_{2}, entonces se tiene que C [Υ′h, Υ′h] = C [h, h] para cada h ∈ D_{Υ′}. Si definimos para cada h, h′ ∈ E_{0}, la relación h ∼ h′ ⇔ C [h − h′, h − h′] = 0, resulta claro que ∼ es una relación de equivalencia y si π_{0} : E_{0} → E denota la proyección canónica, obtenemos que la función T_{0} : π_{0} [D_{Υ′}] → π_{0} [R_{Υ′}] definida por T_{0} (π_{0}h) = π_{0} (Υ′h), h ∈ D_{Υ′}, es una isometría en E. Sin embargo no tenemos garantías de que E sea Hilbert. Sea H la completación de E, sabemos que existe una isometría i : E → H con rango denso, y así podemos definir una isometría T en H con dominio D_{T} = \overline{i (D_{T_{0}})}, rango R_{T} = \overline{i (R_{T_{0}})}, y que verifica T (i (f)) = i (T_{0} (f)) para cada f ∈ D_{T_{0}}. Además se puede verificar fácilmente que si X = \overline{iπ_{0} (W_{1} × \{0\})}, y Y = \overline{iπ_{0} (\{0\} × W_{2})}, entonces

X ⊆ D_{T} , T (X) ⊆ X, Y ⊆ R_{T} , T^{−1} (Y) ⊆ Y.

Nótese que en esta observación vimos cómo asociar naturalmente a una forma de Hankel acotada definida en un SSA un espacio de Hilbert y una isometría en él definida.

Dada B : V_{1} × V_{2} → ℂ una forma sesquilineal, decimos que es una forma Toeplitz si, y sólo si

B (Υf, Υg) = B (f, g) para cada (f, g) ∈ V_{1} × V_{2},  (1)

y decimos que B esta acotada por (B_{1}, B_{2}) y lo denotamos por B ≤ (B_{1}, B_{2}) si, y sólo si

|B (f, g)| ≤ B1^{\frac{1}{2}} (f, f) B2^{\frac{1}{2}} (g, g) para cada (f, g) ∈ V_{1} × V_{2}.  (2)

Finalmente, decimos que B es una extensión acotada por (B_{1}, B_{2}) Toeplitz de la forma de Hankel B^{0} si, y sólo si se verifican (1), (2) y además B |_{W_{1}×W_{2}} = B^{0}.

De la misma forma que le asociamos un espacio de Hilbert H y una isometría en H a una forma de Hankel acotada definida en un SSA, lo hacemos con la forma de Toeplitz acotada por (B_{1}, B_{2}) definida en V_{1} × V_{2}, obteniendo un espacio de Hilbert F y un operador U que resulta unitario. Además, si B es una extensión de B^{0}, resulta fácil demostrar que U es una extensión unitaria minimal de T (i.e., F contiene a H como subespacio cerrado, F = ⋁_{n∈ℤ} U^{n} (H) , U es un operador unitario que extiende a T). Más aún, la relación que a cada B extensión de B^{0} Toeplitz acotada por (B_{1}, B_{2}) le asocia una extensión unitaria minimal de T es una biyección. Así, usando el modelo de Arov-Grossman (cfr. [Aro-G]), el conjunto de las extensiones de B^{0}, definidas en V_{1} × V_{2}, Toeplitz, acotadas por (B_{1}, B_{2}) , denotado por B_{ext}^{0}, puede ser descrito por la bola de funciones analíticas contractivas a valores operadores en L (H ⊖ D_{T} , H ⊖ R_{T}), definidas en el disco unitario abierto D, que indicamos 𝔹 (H ⊖ D_{T} , H ⊖ R_{T}) (θ ∈ 𝔹 (H ⊖ D_{T} , H ⊖ R_{T}) si y sólo si θ : 𝔻 → L (H ⊖ D_{T} , H ⊖ R_{T}) , θ (z) = ∑_{n=0}^{∞} z^{n}θ̂(n) , con θ̂(n) ∈ L (H ⊖ D_{T} , H ⊖ R_{T}) y sup_{|z|<1} ∥θ (z)∥ ≤ 1).

Teorema 1 La función Ψ : 𝔹 (H ⊖ D_{T} , H ⊖ R_{T}) → Bext^{0} definida por Ψ (θ) =

B si, y sólo si B ∈ Bext^{0} y B (w_{1}, Υ (I − zΥ)^{−1} w_{2}) =

⟨iπ (w_{1}, 0) , [T P_{D_{T}} + θ (z) P_{H⊖D_{T}}] (I − z [T P_{D_{T}} + θ (z) P_{H⊖D_{T}}])^{−1} iπ (0, w_{2})⟩_{H}

es una biyección. □

Como consecuencia inmediata tenemos que B_{ext}^{0} ≠ ∅, pues la función 0 pertenece a 𝔹 (H ⊖ D_{T} , H ⊖ R_{T}) . Una nueva aplicación es otra demostración y parametrización de las soluciones de una versión del teorema de levantamiento del conmutante (cfr. [F-F1], [F-F2]).

Antes de enunciar el teorema aclararemos un poco algunos conceptos. Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ L (H) una contracción (∥T ∥ ≤ 1), entonces existen un espacio de Hilbert K (respectivamente G) que contiene a H como subespacio cerrado y un operador V isométrico en F (respectivamente U operador unitario en G) tales que:

P_{H}^{K}V^{n} |_{H} = T^{n} para cada n ∈ ℕ
(respectivamente P_{H}^{G}U^{n} |_{H} = T^{n} para cada n ∈ ℤ) y
K = ⋁_{n=0}^{∞} V^{n} (H)
(respectivamente G = ⋁_{n∈ℤ} U^{n} (H) ).

V es llamada dilatación isométrica minimal de T (y U es llamada dilatación unitaria minimal de V).

Teorema 2 Sean E_{1}, E_{2} espacios de Hilbert, T_{1} ∈ L (E_{1}) una isometría, T_{2} ∈ L (E_{2}) una contracción y V_{2} ∈ L (K_{2}) su dilatación isométrica minimal. Dados X ∈ L (E_{1}, E_{2}) tal que T_{2}X = XT_{1} y σ un número real tal que σ ≥ ∥X∥, entonces existe Y ∈ L (E_{1}, K_{2}) tal que V_{2}Y = Y T_{1}, con ∥Y ∥ ≤ σ y P_{E_{2}}^{K_{2}}Y = X.

Demostración: Para i = 1, 2, sea U_{i} ∈ L (G_{i}) la dilatación unitaria minimal de T_{i}. Al problema enunciado en el teorema le asociamos el siguiente SSA:

V = G_{1} × G_{2}, W_{1} = E_{1} × \{0\} , W_{2} = \{0\} × ⋁_{n=0}^{∞} U_{2}^{−n} (E_{2}), Υ = ( \begin{matrix}U_{1} & 0 \\ 0 & U_{2} \end{matrix} ).

Para i = 1, 2, definamos las formas B_{i} : V × V → ℂ por B_{i} ((g_{1}, g_{2}) , (g′_{1}, g′_{2})) = c_{i} ⟨g_{i}, g′_{i}⟩_{G_{i}} con c_{1} = σ^{2}, c_{2} = 1. Es claro que ambas son sesquilineales positivas y

B_{i} (Υf, Υg) = B_{i} (f, g) para cada (f, g) ∈ V × V.

Además, si B^{0} : W_{1} × W_{2} → ℂ está determinada por B^{0} ((e_{1}, 0) , (0, g_{2})) = ⟨Xe_{1}, g_{2}⟩, resulta una forma sesquilineal Hankel definida en el SSA y que está acotada por (B_{1}, B_{2}) . Demostramos que

α : B_{ext}^{0} → {Y ∈ L (E_{1}, K_{2}) : V_{2}Y = Y T_{1}, ∥Y ∥ ≤ σ y P_{E_{2}}^{K_{2}}Y = X}

determinada por α (B) = Y ⇔ Y ∈ L (E_{1}, K_{2}), ⟨Y e_{1}, k_{2}⟩ = B ((e_{1}, 0) , (0, k_{2})) es una biyección. Así, además de demostrar el Teorema 2, podemos, usando el Teorema 1, parametrizar las soluciones.

Finalmente, la parametrización resulta más elegante al ver que H ⊖ D_{T} y H ⊖R_{T} son isométricamente isomorfos a D_{X}^{σ} ⊕D_{T_{2}} ⊖{D_{X}^{σ}h ⊕ D_{T_{2}}Xh : h ∈ E_{1}} y D_{X}^{σ} ⊖ \overline{D_{X}^{σ}T_{1}E_{1}} donde:

D_{X}^{σ} = \overline{(σ^{2} − X^{∗}X)^{\frac{1}{2}} (E_{1})}, D_{X}^{σ} = (σ^{2} − X^{∗}X)^{\frac{1}{2}} ,
D_{T_{2}} = \overline{(I − T_{2}^{∗}T_{2})^{\frac{1}{2}} (E_{2})}, D_{T_{2}} = (I − T_{2}^{∗}T_{2})^{\frac{1}{2}} .
□

Otro ejemplo donde se aplican los SSA es en la demostración del siguiente teorema:

Teorema 3 Sean E_{1}, E_{2} espacios de Hilbert, T_{1} ∈ L (E_{1}) una isometría, T_{2} ∈ L (E_{2}) una coisometría (i.e: T_{2}^{∗} es una isometría), L_{2} subespacio cerrado de E_{2}, T_{2}^{∗} (L_{2}) ⊂ L_{2}. Si X ∈ L (E_{1}, L_{2}) es una contracción tal que P_{L_{2}}^{E_{2}}T_{2}X = XT_{1}, entonces existe Y ∈ L (E_{1}, E_{2}) tal que T_{2}Y = Y T_{1} y P_{L_{2}}^{E_{2}}Y = X.

Demostración: Para i = 1, 2, sea U_{i} ∈ L (G_{i}) la dilatación unitaria minimal de T_{i}. Al problema enunciado en el teorema le asociamos el siguiente SSA:

V = G_{1} ×G_{2}, W_{1} = E_{1} ×\{0\} , W_{2} = \{0\}×⋁_{n=0}^{∞} U_{2}^{−n} (L_{2}) , Υ = ( \begin{matrix}U_{1} & 0 \\ 0 & U_{2} \end{matrix} ) .

Para i = 1, 2, definimos las formas B_{i} : V × V → ℂ por B_{i} ((g_{1}, g_{2}) , (g′_{1}, g′_{2})) = ⟨g_{i}, g′_{i}⟩_{G_{i}}. Es claro que ambas son sesquilineales positivas y

B_{i} (Υf, Υg) = B_{i} (f, g) para cada (f, g) ∈ V × V.

Además, si B^{0} : W_{1} × W_{2} → ℂ está determinada por B^{0} ((e_{1}, 0) , (0, g_{2})) = ⟨Xe_{1}, g_{2}⟩ , resulta una forma sesquilineal Hankel definida en el SSA y que está acotada por (B_{1}, B_{2}) . Se demuestra fácilmente que si B ∈ B_{ext}^{0}, y definimos ⟨Y e_{1}, e_{2}⟩ = B ((e_{1}, 0) , (0, e_{2})) , entonces Y ∈ L (E_{1}, E_{2}) , T_{2}Y = Y T_{1}, ∥Y ∥ ≤ 1 y P_{E_{2}}^{K_{2}}Y = X. □

Referencias

[A-Aro] Adamjam, V. M. and Arov, D. Z. On unitary coupling of semiunitary operators. Matem. Issledovanya, (1966), 3-4 (Russian).

[Aro-G] Arov, D. Z. and Grossmann, L. Z. Scattering matrices in the theory of dilations of isometric operators. Soviet Math. Dokl. 27 (1983), 518-522.

[F-F1] Foias, C. and Frazho, A. The Commutant Lifting Approach to Interpolation Problems. Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 1990.

[F-F2] Foias, C. and Frazho, A. Constructing the Schur Contraction in the Commutant Lifting Theorem. Acta Sci. Math. (Szeged) 61 (1995), 425-442.

[C-S1] Cotlar, M. and Sadosky, C. Integral Representations of Bounded Hankel Forms Defined in Scattering Systems with a Multiparametric Evolution Group Operator Theory. Advances and Applications, 35 (1988), 357-375.

[C-S2] Cotlar, M. and Sadosky, C. The Generalized Bochner Theorem in Algebraic Scattering Systems. Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley California, 1987.

[C-S3] Cotlar, M. and Sadosky, C. Transference of Metrics Induced by Unitary Couplings, a Sarason Theorem for the Bidimensional Torus, and Sz. Nagy-Foias Theorem for Pairs of Dilations, Journal of Functional Analysis 11, No 2 (1993), 473-488.

[L-P] Lax, P. and Phillips, Scattering Theory, Academic Press, New York