Journal of Lie Theory Volume 13 (2003) 591–612 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 2003 Heldermann Verlag

Représentations des formes d’une algèbre de Kac–Moody

Cécile Barlet-Mathieu^{∗}

Communicated by A. Valette

Résumé. Le sujet de cet article est l’étude des représentations des K-formes d’une \overline{K}-algèbre de Kac–Moody 𝔤 où K est un corps de caractéristique nulle et \overline{K} sa clôture algébrique, c’est-à-dire des représentations des K-algèbres de Lie, qui tensorisées par \overline{K}, deviennent isomorphes à 𝔤. Nous donnons comme résultat principal la classification des 𝔤_{K} -modules simples, sous des conditions de catégories O “classique” et parabolique.

Introduction

Si on considère une algèbre de Kac–Moody sur la clôture algébrique \overline{K} d’un corps K de caractéristique nulle, il est naturel de s’intéresser à ses K-formes, c’est-à-dire aux algèbres de Lie sur K qui, tensorisées par \overline{K}, deviennent isomorphes à cette algèbre de Kac–Moody. Dans le cas d’une algèbre de Kac–Moody indécomposable, les K-formes ne sont que de deux sortes : presque déployées ou presque-anisotropes. L’étude de ces formes a été faite en grande partie par G. Rousseau et ses élèves depuis le milieu des années 80. Les premières ont été étudiées et classifiées dans un article publié en 1995 [1]. En ce qui concerne les secondes, la classification dans le cas d’une algèbre de Kac–Moody affine et de K = ℝ a été terminée en 2000 [3].

L’objectif de cet article est l’étude des représentations des formes d’une algèbre de Kac–Moody dans le cadre d’une catégorie O. Cette classe de représentations a été mise en évidence par Bernstein–Gelfand–Gelfand en 1971 pour les algèbres de Lie semi-simples déployées [4] puis étendue par Kac aux algèbres de Kac–Moody. La catégorie O est effectivement le bon cadre pour une théorie des représentations d’algèbres de Kac–Moody, car elle contient les représentations à plus haut poids qui sont les exemples fondamentaux de représentations. Il s’agit donc dans ce travail de définir et d’étudier des catégories O adaptées aux formes des algèbres de Kac–Moody, et en particulier à celles presque déployées.

Ce travail est découpé en 4 parties. La première partie comprend essentiellement la définition du cadre et des objets mathématiques avec lesquels nous

ISSN 0949–5932 / $2.50 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Heldermann Verlag allons travailler. Dans la deuxième partie, la théorie des catégories O “classiques” pour une algèbre de Kac–Moody est généralisée à des catégories O_{𝔭,𝔱}, appelées paraboliques, qui vont intervenir de façon naturelle dans la théorie des représentations des formes presque déployées. Nous démontrons (Propositions 2.10, 2.12, 2.14) des caractérisations pratiques de ces catégories les unes par rapport aux autres.

∗Je tiens à remercier Guy Rousseau pour son aide, son soutien et ses conseils dans l’élaboration de cet article.

La partie 3 est consacrée aux représentations des formes presque-anisotropes. Nous obtenons, sous des conditions de catégorie O plus ou moins “classique”, un résultat très restrictif. En effet, le résultat principal (Théorème 3.1) impose aux représentations irréductibles d’une forme presque anisotrope d’une catégorie O^{K} ou O_{𝔟}^{K} d’être de dimension 1.

Les représentations des formes presque déployées sont étudiées dans la dernière partie. Nous rappelons les principaux résultats permettant de comprendre la structure des formes presque déployées, notamment l’existence d’une sous-algèbre de Lie semi-simple de 𝔤 définie sur K et K-anisotrope, appelée noyau anisotrope. Nous justifions ensuite l’introduction et l’étude des catégories paraboliques O_{𝔭,𝔱} et O_{𝔭}, où 𝔭 désigne la K-sous-algèbre parabolique minimale de 𝔤. En effet, 𝔤_{K} étant une K-forme presque déployée d’une \overline{K}-algèbre de Kac-Moody 𝔤, si un 𝔤_{K}-module V_{K} est tel que V_{K} ⊗_{K} \overline{K} appartient à la catégorie O_{𝔟}, alors V_{K} est dans la catégorie O_{𝔭}^{K} (Proposition 4.6).

Nous poursuivons avec la mise en place des outils nécessaires à la construction de 𝔤_{K}-modules simples de la catégorie O_{𝔭}^{K} ; nous obtenons une correspondance bijective entre les objets simples de O_{𝔭}^{K} décomposés sur \overline{K} et les représentations irréductibles de dimension finie du noyau anisotrope de 𝔤_{K}. Les objets simples de O_{𝔭}^{K}, décomposés sur \overline{K}, sont en fait obtenus par induction parabolique à partir de représentations irréductibles du noyau anisotrope de 𝔤_{K} (Théorème 4.11), qui nous sont données par des résultats de J. Tits [11].

Nous terminons cette partie en montrant l’existence (Théorème 4.13), pour un module de O_{𝔭}^{K}, d’une suite de composition locale dont les sous-quotients propres sont des objets simples décomposés sur \overline{K}. Cela prouve que l’on a ainsi obtenu la classification des objets simples de la catégorie O_{𝔭}^{K} :

Théorème 0.1. Soient 𝔤_{K} une forme presque déployée d’algèbre de Kac–Moody, 𝔭_{K} une sous-algèbre parabolique minimale de 𝔤_{K} et 𝔟 une sous-algèbre de Borel de 𝔤_{K} ⊗_{K} \overline{K} contenue dans 𝔭_{K} ⊗_{K} \overline{K}. Si V_{K} est un 𝔤_{K}-module simple tel que V_{K} ⊗_{K} \overline{K} soit dans la catégorie O_{𝔟} (i.e. V_{K} ∈ O_{𝔭}^{K}), alors V_{K} est obtenu par induction parabolique à partir d’une représentation irréductible du noyau anisotrope de 𝔤_{K}.

1. Algèbres et formes d’algèbres de Kac–Moody

1.1. Soient K un corps de caractéristique nulle et \overline{K} sa cloture algébrique. On considère une algèbre de Kac–Moody 𝔤 sur \overline{K} que l’on suppose construite comme dans [6] (où ℂ est remplacé par \overline{K}).

Il existe une matrice de Cartan généralisée A = (a_{ij})_{i,j∈I} telle que 𝔤(A) = 𝔤 soit engendrée par l’algèbre de Cartan standard 𝔥 et des éléments e_{i}, f_{i} pour i ∈ I. On a la décomposition 𝔤 = 𝔥 ⊕ ⨁ 𝔤_{α} où α parcourt le système de racines Δ = Δ(𝔤, 𝔥) ⊂ 𝔥^{∗} − {0}. On note Π = {α_{i}/i ∈ I} la base standard de Δ. L’ensemble des racines positives (resp. négatives) est Δ^{+} = Δ ∩ Q^{+} où Q_{+} = ⨁_{i=1}^{n} ℕα_{i} (resp. Δ^{−} = −Δ^{+}). Les coracines α_{i}^{∨} dans 𝔥 sont telles que α_{j}(α_{i}^{∨}) = a_{ij} pour tous i, j [6, 1.3].

Soit la réflexion fondamentale r_{i} de 𝔥^{∗} définie par r_{i}(λ) = λ − ⟨λ, α_{i}^{∨}⟩α_{i} ∀λ ∈ 𝔥^{∗}. Le groupe de Weyl W de (𝔤, 𝔥) est engendré par les r_{i} (pour i dans I). Une racine réelle est une racine conjuguée par W à une racine dans Π ; leur ensemble est noté Δ^{re}. Une racine non réelle est une racine imaginaire ; leur ensemble est noté Δ^{im}. On a Δ^{im} = Δ − Δ^{re} [6, 3.7 et 5.1].

1.2. Pour un sous-ensemble J de I, on définit le sous-groupe W (J) de W engendré par les r_{i}, i ∈ J et des sous-ensembles de Δ par :

Δ(J) = Δ ∩ ((⨁_{i∈J} ℤα_{i}) ⊕ (⨁_{i∉J} ℕα_{i}))
Δ^{m}(J) = Δ(J) ∩ (−Δ(J)) et Δ^{u}(J) = Δ(J) \ Δ^{m}(J).

On en déduit des sous-algèbres de 𝔤 :

𝔭^{+}(J) = 𝔭(J) = 𝔥 ⊕ (⨁_{α∈Δ(J)} 𝔤_{α})
𝔭^{−}(J) = 𝔥 ⊕ (⨁_{α∈−Δ(J)} 𝔤_{α})
𝔪(J) = 𝔥 ⊕ (⨁_{α∈Δ^{m}(J)} 𝔤_{α})
𝔲^{+}(J) = 𝔲(J) = ⨁_{α∈Δ^{u}(J)} 𝔤_{α} et 𝔲^{−}(J) = ⨁_{α∈−Δ^{u}(J)} 𝔤_{α}.

𝔭^{+}(J) = 𝔪(J) ⊕ 𝔲(J) (respectivement 𝔭^{−}(J) = 𝔪(J) ⊕ 𝔲^{−}(J)) est la sousalgèbre parabolique standard positive (respectivement négative) de type J et 𝔪(J) en est le facteur de Levi standard (le mot standard et les signes font référence au couple (𝔥, Π) choisi).

Le sous-ensemble J et les paraboliques correspondants sont dits de type fini si la matrice A_{J} = (a_{ij})_{i,j∈J} est une matrice de Cartan, c’est-à-dire si W (J) est fini ou si Δ^{m}(J) est fini. Quand J = Ø, les paraboliques 𝔟^{+} = 𝔭^{+}(Ø) et 𝔟^{−} = 𝔭^{−}(Ø) sont appelés sous-algèbres de Borel standard.

1.3. On définit un groupe G (ne dépendant que de 𝔤) agissant sur 𝔤 par la représentation adjointe Ad : G → Aut(𝔤). Il est engendré par des sous-groupes U_{α}, pour α racine réelle, isomorphes au groupe additif 𝔤_{α} par un isomorphisme exp tel que Ad ∘ exp = exp ∘ ad.

On note H le groupe associé à la sous-algèbre de Cartan standard 𝔥 de 𝔤 ; H est l’ensemble des g ∈ G qui agissent sur 𝔤_{α} (pour α ∈ Δ ∪ {0}) par multiplication par un scalaire α(g) dépendant multiplicativement de α. En particulier H fixe point par point 𝔥 = 𝔤_{0} (il en est même le fixateur) et normalise U_{α} (pour h ∈ H et X ∈ 𝔤_{α} on a h · exp(X) · h^{−1} = exp(α(h) · X)).

Aux sous-algèbres 𝔫^{±} = 𝔲^{±}(Ø), 𝔟^{±}, 𝔪(J) et 𝔭^{±}(J) sont associés respectivement des groupes U^{±} engendrés par les U_{α} pour α ∈ Δ_{re}^{±}, B^{±} = HU^{±} (sousgroupe de Borel standard positif ou négatif), M(J) engendré par H et les U_{±α_{i}}, i ∈ J, et P^{±}(J) = M(J)U^{±} (sous-groupe parabolique standard positif ou négatif associé à J). Le groupe B^{±} (resp. P^{±}(J)) est le stabilisateur dans G de 𝔟^{±} (resp. 𝔭^{±}(J)) ; le groupe M(J) = P^{+}(J) ∩ P^{−}(J) stabilise 𝔪(J) = 𝔭^{+}(J) ∩ 𝔭^{−}(J).

Les sous-algèbres de Cartan déployées de 𝔤 (c’est-à-dire les sous-algèbres ad(𝔤)-diagonalisables maximales) sont conjuguées par G à 𝔥 [8, Théorème 2]; celles contenues dans 𝔭^{±}(J) sont conjuguées par P^{±}(J). Comme les facteurs de Levi de 𝔭^{±}(J) sont associés aux sous-algèbres de Cartan déployées de 𝔭^{±}(J), ils sont conjugués par P^{±}(J) et donc par U^{±}.

Pour les résultats suivants, on suppose qu’aucune composante connexe de I n’est de type fini.

Une sous-algèbre de Borel de 𝔤 est une sous-algèbre complètement résoluble maximale de 𝔤 ; c’est le cas de 𝔟^{+} et 𝔟^{−} qui ne sont pas conjuguées par G. Les sous-algèbres de Borel conjuguées par G à 𝔟^{+} (respectivement 𝔟^{−}) sont dites positives (respectivement négatives).

Si 𝔤 est indécomposable (c.-à-d. I connexe), il n’y a pas d’autre classe de conjugaison de sous-algèbre de Borel [8, Théorème 3].

Une sous-algèbre parabolique de 𝔤 est une sous-algèbre contenant une sousalgèbre de Borel. On dit qu’elle est non dégénérée si elle ne contient aucun facteur indécomposable de 𝔤, et de signe positif ou négatif si elle est propre (c.-à-d. différente de 𝔤) et si elle contient une sous-algèbre de Borel positive ou négative.

Si 𝔤 est indécomposable, toute sous-algèbre parabolique propre est non dégénérée et de signe positif ou négatif. Une sous-algèbre parabolique 𝔭 de signe positif ou négatif est conjuguée à une unique sous-algèbre parabolique standard 𝔭^{±}(J) ; elle est non dégénérée si et seulement si J est non dégénérée (c.-à-d. J ne contient aucune composante connexe de I).

Une sous-algèbre parabolique de signe ϵ est dite de type fini si elle est conjuguée à une sous-algèbre parabolique standard 𝔭^{ϵ}(J) avec J de type fini.

Un automorphisme (linéaire ou semi-linéaire) de 𝔤 transforme deux sousalgèbres de Borel (resp. paraboliques) conjuguées en deux sous-algèbres de Borel (resp. paraboliques) conjuguées. Il est dit de première espèce s’il transforme une sous-algèbre de Borel positive ou négative en une sous-algèbre de Borel de même signe, et de seconde espèce s’il transforme une sous-algèbre de Borel positive ou négative en une sous-algèbre de Borel de signe opposé.

1.4. Une K-forme de 𝔤 est une algèbre de Lie 𝔤_{K} telle qu’il existe un isomorphisme de 𝔤 sur 𝔤_{K} ⊗_{K} \overline{K}.

Un tel isomorphisme étant fixé, le groupe de Galois Γ de \overline{K} sur K agit sur 𝔤 et G (de manière compatible avec la représentation adjointe Ad). On identifie 𝔤_{K} avec l’ensemble 𝔤^{Γ} des points fixes de 𝔤 sous l’action de Γ et on définit G_{K} = G^{Γ}. Pour un sous-espace e_{K} de 𝔤_{K}, on note e = e_{K} ⊗_{K} \overline{K}.

Une sous-algèbre de Cartan (resp. parabolique, de Borel) de 𝔤_{K} est une sous-algèbre 𝔥_{K} (resp. 𝔭_{K}, 𝔟_{K}) de 𝔤_{K} telle que 𝔥 (resp. 𝔭, 𝔟) soit une sousalgèbre de Cartan (déployée) (resp. parabolique, de Borel) de 𝔤.

Définition 1.1. On dit que 𝔤_{K} est une K-forme presque déployée de 𝔤 si Γ est formé d’automorphismes de première espèce. Cela équivaut au fait que 𝔤 contient une sous-algèbre parabolique non dégénérée de signe positif (ou négatif) qui est définie sur K. On dit que 𝔤_{K} est une K-forme presque anisotrope de 𝔤 si Γ contient un automorphisme de seconde espèce.

Si 𝔤 est décomposable, la notion de presque déployé dépend du choix de la classe de conjugaison des sous-algèbres de Borel opposées 𝔟^{+} et 𝔟^{−}. On peut alors dire de manière plus générale que 𝔤_{K} est presque déployée si Γ stabilise une classe de conjugaison de sous-algèbres de Borel ; cette notion se ramène à la précédente par le choix de cette sous-algèbre de Borel comme standard.

Si 𝔤_{K} est presque anisotrope, alors 𝔤 ne contient pas de sous-algèbre parabolique propre définie sur K.

Si 𝔤 est indécomposable, tout automorphisme est de première ou seconde espèce et toute forme est presque déployée ou presque anisotrope.

Nous terminons cette première partie en donnant un résultat qui va nous permettre de travailler, dans la partie 4. (lemme 4.15), avec un sous-groupe fini de Γ. La démonstration (facile) est laissée au lecteur [2, 1.2].

Proposition 1.2. Soit 𝔤_{K} une K-forme de 𝔤. Alors il existe une extension finie E de K qui déploie 𝔤_{K}, c’est-à-dire telle que 𝔤_{K} ⊗_{K} E est une E-algèbre de Kac–Moody.

Remarque 1.3. En particulier, si 𝔥_{K} est donnée, les orbites de Γ dans l’ensemble Δ(𝔤, 𝔥) des racines sont finies.

2. Catégories O

2.1. Soit 𝔤 = 𝔤(A) une algèbre de Kac–Moody sur un corps K de caractéristique nulle. On considère un couple (𝔥, 𝔟^{+}) formé d’une sous-algèbre de Cartan 𝔥 et d’une sous-algèbre de Borel 𝔟^{+} de 𝔤 contenant 𝔥.

On considère la catégorie O_{𝔟} définie comme suit :

(i) Les objets sont les 𝔤-modules diagonalisables sous l’action de 𝔥 avec des espaces de poids de dimension finie et qui vérifient la condition suivante : l’ensemble P (V) des poids de V est tel que : ∀λ ∈ 𝔥^{∗}, P (V) ∩ (λ + Q^{+}) est fini.

(ii) Les morphismes sont les homomorphismes de 𝔤-modules.

La catégorie O “classique” est définie de la même manière en remplaçant la condition sur les poids par : ∃λ_{1}, …, λ_{n} ∈ 𝔥^{∗} tels que P (V) ⊂ ⋃_{i=1}^{n}(λ_{i} − Q_{+}). On renvoie à [6] ou à [7] pour cette définiton et les résultats standard suivants.

Les exemples les plus importants de modules de ces catégories O et O_{𝔟} sont les modules de plus haut poids, c’est-à-dire les modules engendrés par un vecteur de poids qui est annulé par 𝔫_{+}.

Un 𝔤(A)-module M_{λ} de plus haut poids λ est appelé un module de Verma si tout 𝔤(A)-module de plus haut poids λ est un quotient de M_{λ}. On a les propriétés suivantes : ▪ Pour tout λ ∈ 𝔥^{∗}, il existe un module de Verma M_{λ} unique à isomorphisme près. ▪ Vu comme un U(𝔫_{−})-module, M_{λ} est un module libre de rang 1, engendré par un vecteur de plus haut poids. ▪ M_{λ} contient un unique sous-module propre maximal M′_{λ}.

Remarque 2.1. On peut construire M_{λ} comme un module induit : M_{λ} = U(𝔤(A)) ⊗_{U(𝔫_{+}+𝔥)} ℂ_{λ}, avec ℂ_{λ} le (𝔫_{+} + 𝔥)-module défini par 𝔫_{+} · 1 = 0 et H · 1 = λ(H)1 ∀H ∈ 𝔥.

On note L_{λ} = M_{λ}/M′_{λ} le module irréductible quotient. Pour tout λ ∈ 𝔥^{∗}, le module de Verma M_{λ} et son module irréductible quotient L_{λ} sont dans la catégorie O_{𝔟} et dans la catégorie O.

Remarque 2.2. L’action de 𝔤_{α} (pour α ∈ Δ_{re}^{+}) sur un module de la catégorie O_{𝔟} est localement nilpotente. On en déduit donc une action de U^{+}, et même de B^{+}, sur ce module, compatible avec la représentation adjointe. Comme les sousalgèbres de Cartan déployées de 𝔟 = 𝔟^{+} sont conjuguées par B^{+}, on en déduit que la catégorie O_{𝔟} ne dépend que de 𝔟 et pas du choix de 𝔥.

La démonstration de [6, 9.6] pour O donne en fait le résultat suivant : Si V ∈ O_{𝔟} et λ ∈ 𝔥^{∗}, alors il existe une filtration de V par une suite de sous-𝔤-modules (V_{i})_{i=1,... ,k} dans O_{𝔟}, V = V_{0} ⊃ V_{1} ⊃ ⋯ ⊃ V_{k} = (0), et un sous-ensemble I ⊂ {0, …, k} tels que :

(i) si i ∈ I, alors ∃λ_{i} ∈ 𝔥^{∗} tel que λ_{i} ≥ λ et V_{i}/V_{i+1} ≅ L_{λ_{i}} ;

(ii) si i ∉ I, alors (V_{i}/V_{i+1})_{μ} = (0) ∀μ ≥ λ.

Une telle filtration est appelée suite de composition ou filtration locale de V en λ.

Remarque 2.3. Les L_{λ} sont donc les objets simples de O_{𝔟}.

Si V ∈ O_{𝔟} et λ, μ ∈ 𝔥^{∗}, deux suites de composition (V_{i}) et (W_{i}) de V , locales en λ et μ respectivement, ont des raffinements communs qui sont équivalents à une suite de composition (X_{i}) de V locale en λ et μ. De plus, pour ξ ≥ λ (resp. ξ ≥ μ) le nombre de facteurs propres de type L_{ξ} dans (V_{i}) et (X_{i}) (resp. (W_{i}) et (X_{i})) est le même (voir par exemple [7, 2.6]).

2.2. Nous définissons, dans ce paragraphe, une catégorie O plus générale, appelée parabolique, qui apparaît de façon naturelle dans l’étude des représentations des formes presque déployées d’une algèbre de Kac–Moody.

Définition 2.4. Si 𝔪 est une K-algèbre de Lie réductive, de centre 𝔷 et de sous-algèbre de Levi 𝔩, un 𝔪-module V est dit semi-simple si V est un 𝔩-module semi-simple (c.-à-d. de dimension finie) et si de plus l’action de 𝔷 est semi-simple.

Définition 2.5. Avec les notations de la définition précédente, un 𝔪-module V est dit semi-simple déployé si V est un 𝔩-module semi-simple (c.-à-d. de dimension finie), si l’image de 𝔩 dans End(V) est une algèbre de Lie semi-simple déployée et si de plus l’action de 𝔷 est diagonalisable.

Remarque 2.6. Un 𝔪-module V est simple s’il est semi-simple et indécomposable. Si de plus 𝔩 est déployée et l’action de 𝔷 diagonalisable, le 𝔩-module V est absolument simple et l’action de 𝔷 est donc scalaire. Un 𝔪-module semisimple (déployé) se décompose en somme directe de 𝔪-modules simples (déployés). Si 𝔩 est déployée, un 𝔪-module de dimension finie est semi-simple déployé si et seulement si l’action de 𝔷 est diagonalisable.

On considère dans 𝔤 une sous-algèbre parabolique 𝔭 de type fini (de signe positif ou négatif). De la conjugaison de 𝔭 à une sous-algèbre 𝔭^{±}(J) (paragraphe 1.3.), on déduit les décompositions suivantes : 𝔭 = 𝔲 ⊕ 𝔪 et 𝔪 = 𝔷 ⊕ 𝔩, où 𝔷 est le centre de l’algèbre réductive 𝔪, et 𝔩 une sous-algèbre semi-simple (de Levi) ; l’algèbre 𝔩 est en fait déployée. On considère de plus une sous-algèbre de Cartan 𝔥 de 𝔤 contenue dans 𝔪, et 𝔟 une sous-algèbre de Borel de 𝔤 contenue dans 𝔭 et qui contient 𝔥. On choisit également une sous-algèbre 𝔱 contenue dans 𝔷, et on note : Q_{𝔱}^{+}(𝔭) = ∑_{i∈I} ℕα′_{i} où les α′_{i} sont les restrictions à 𝔱 des racines simples α_{i} de (𝔥, 𝔟).

Remarque 2.7. On a de façon évidente Q_{𝔱}^{+}(𝔭) = Q_{𝔱}^{+}(𝔟).

On peut maintenant donner la définition de la catégorie O parabolique, relative aux sous-algèbres 𝔭 et 𝔱.

Définition 2.8. On note O_{𝔭,𝔱} la catégorie définie comme suit :

1. Les objets de O_{𝔭,𝔱} sont les 𝔤-modules V qui vérifient :

(i) V admet une décomposition en espaces de poids par rapport à 𝔱 : V = ⨁_{λ∈𝔱^{∗}} V_{λ}, avec V_{λ} = {v ∈ V | T · v = λ(T)v ∀T ∈ 𝔱} ;

(ii) les termes de la graduation, c’est-à-dire les V_{λ}, sont des 𝔪-modules semi-simples déployés de dimension finie ;

(iii) l’ensemble P_{𝔱}(V) = {μ ∈ 𝔱^{∗} | V_{μ} ≠ (0)} des poids de V par rapport à 𝔱 est tel que : ∀λ ∈ 𝔱^{∗}, P_{𝔱}(V) ∩ (λ + Q_{𝔱}^{+}(𝔭)) est fini.

2. Les morphismes de O_{𝔭,𝔱} sont les homomorphismes de 𝔤-modules.

Remarque 2.9. Comme pour la catégorie O_{𝔟}, on a une action de B^{+} sur tout module de la catégorie O_{𝔭,𝔱}. Comme 𝔷 est déterminé par le facteur de Levi 𝔪 de 𝔭 et que ces facteurs sont conjugués par U^{+}, on en déduit que la catégorie O_{𝔭,𝔷} ne dépend que de 𝔭. Il est facile de vérifier que tout sous-module ou tout module quotient d’un module de la catégorie O_{𝔭,𝔱} est encore dans la catégorie O_{𝔭,𝔱}.

Dans certains cas particuliers, on simplifie la notation de O_{𝔭,𝔱} : si 𝔱 = 𝔷 , on note O_{𝔭} = O_{𝔭,𝔷}, et si 𝔭 = 𝔟, on retrouve la catégorie O_{𝔟} (dans ce cas 𝔷 = 𝔥 = 𝔪).

En fait, la catégorie O_{𝔭,𝔱} ainsi définie est une sous-catégorie de la catégorie O_{𝔟} = O_{𝔟,𝔥}, associée à la paire (𝔥, 𝔟) :

Proposition 2.10. On a les deux séries d’inclusions suivantes :

O_{𝔭,𝔱} ⊂ O_{𝔟,𝔱} ⊂ O_{𝔟} et O_{𝔭,𝔱} ⊂ O_{𝔭} ⊂ O_{𝔟}

Démonstration. Montrons l’inclusion O_{𝔭,𝔱} ⊂ O_{𝔭}. Si V est un 𝔤-module de la catégorie O_{𝔭,𝔱}, il est gradué par 𝔱^{∗} ; notons V_{λ′} les termes de cette graduation. Par hypothèse, 𝔪 agit de façon semi-simple déployée sur chaque V_{λ′} donc 𝔷 agit de façon diagonalisable sur chaque V_{λ′} ; V est donc gradué par 𝔷^{∗} et on a V_{λ} ⊂ V_{λ′} pour λ ∈ 𝔷^{∗} tel que λ |_{𝔱}= λ′. Comme les V_{λ′} sont de dimension finie, les V_{λ} aussi, d’où (i) et (ii). Il reste à montrer que V vérifie la condition (iii) de la catégorie O_{𝔭} ; on note P_{𝔷}(V) = {μ ∈ 𝔷^{∗} | V_{μ} ≠ (0)} et

Y = {μ′ ∈ 𝔱^{∗} | μ′ = μ |_{𝔱}

avec μ ∈ P_{𝔷}(V) ∩ (λ + Q_{𝔷}^{+}(𝔭))}. On a Y ⊂ P_{𝔱}(V) ∩ (λ |_{𝔱} +Q_{𝔱}^{+}(𝔭)), et ce dernier est fini, comme V est dans O_{𝔭,𝔱}. Donc Y est fini. De plus, l’ensemble {μ ∈ P_{𝔷}(V) | μ |_{𝔱} donné} est fini d’après la condition (ii), donc P_{𝔷}(V)∩(λ+Q_{𝔷}^{+}(𝔭)) est fini pour tout λ ∈ 𝔷^{∗}. En appliquant ce résultat à 𝔭 = 𝔟, on obtient l’inclusion O_{𝔟,𝔱} ⊂ O_{𝔟}.

Montrons maintenant l’inclusion O_{𝔭,𝔱} ⊂ O_{𝔟,𝔱}. Si V est un 𝔤-module de la catégorie O_{𝔭,𝔱}, il vérifie clairement la condition (i) de la définition de O_{𝔟,𝔱}. Si λ′ ∈ 𝔱^{∗}, V_{λ′} est 𝔪-semi-simple déployé et 𝔥 est somme de 𝔷 et d’une sous-algèbre de Cartan déployée de 𝔩, donc 𝔥 agit de façon diagonalisable sur V_{λ′} d’où (ii). Le point (iii) se prouve comme ci-dessus vu la remarque 2.7. En appliquant l’inclusion O_{𝔭,𝔱} ⊂ O_{𝔟} à 𝔱 = 𝔷, on obtient l’inclusion O_{𝔭} ⊂ O_{𝔟}.

Remarque 2.11. Ce résultat est le principal intérêt des catégories O_{𝔟} et O_{𝔭} par rapport à la catégorie O. En effet la seule définition raisonnable d’une catégorie parabolique “classique” O_{𝔭,class} (c.-à-d. analogue de O) est donnée avec l’axiome (iii)_{class} ∃λ_{1}, ⋯, λ_{n} ∈ 𝔷^{∗} tel que P_{𝔷}(V) ⊂ ⋃_{i=1}^{n}(λ_{i} − Q_{𝔷}^{+}(𝔭)). Mais alors on n’a pas nécessairement l’inclusion O_{𝔭,class} ⊂ O, comme le montre le contre-exemple suivant : si 𝔭 = 𝔭(J) avec J ≠ Ø une partie de type fini de I, on peut choisir des racines α = α_{j} avec j ∈ J et α′ = α_{i} avec i ∈ I \ J. Alors la somme directe infinie des modules de Verma M(n(α − α′)) est dans O_{𝔭,class} ⊂ O_{𝔭} ⊂ O_{𝔟} mais pas dans O.

Le résultat suivant nous montre que les catégories O_{𝔭} et O_{𝔭,𝔱} sont très proches, modulo une condition sur la sous-algèbre 𝔱 :

Proposition 2.12. On suppose que 𝔭 = 𝔭^{+}(J) et que 𝔱 contient un élément T vérifiant α_{i}(T) ∈ ℚ∩]0; +∞[ ∀i ∉ J. Alors tout module V de type fini de la catégorie O_{𝔭} est dans la catégorie O_{𝔭,𝔱}.

Lemme 2.13. Si J est une partie de type fini de I et si pour i ∉ J on fixe des entiers N_{i}, alors le nombre de racines α ∈ Δ ∩ (∑_{i∉J} N_{i}α_{i} + ⨁_{i∈J} ℤα_{i}) est fini.

Démonstration. On peut supposer que les N_{i} sont des entiers positifs ou nuls. Si les N_{i} sont tous nuls, le lemme est vérifié car l’ensemble Δ^{m}(J) est fini. Donc on suppose que les N_{i} sont strictement positifs, ce qui implique que les coefficients des α_{i} pour i ∈ J sont positifs. L’ensemble X des racines α = ∑_{i∉J} N_{i}α_{i} + ∑_{i∈J} n_{i}α_{i} est stable par le groupe de Weyl fini W (J). Quitte à remplacer α ∈ X par α′ ∈ W (J)α de hauteur minimale, on peut supposer que α ∈ Y = {α ∈ X | α(α_{j}^{∨}) ≤ 0 ∀j ∈ J}, et il suffit de montrer que Y est fini. Pour α ∈ Y et j ∈ J, on a

α(α_{j}^{∨}) = ∑_{i∉J} N_{i}α_{i}(α_{j}^{∨}) + ∑_{i∈J} n_{i}α_{i}(α_{j}^{∨}) ≤ 0

On note P_{j} = − ∑_{i∉J} N_{i}α_{i}(α_{j}^{∨}) ∈ ℕ (fixé) et \underline{n} (resp. \underline{P}) la matrice colonne des n_{j} (resp. P_{j}) pour j ∈ J. La matrice A_{J} = (α_{i}(α_{j}^{∨}))_{i,j∈J} est une matrice de Cartan généralisée de type fini ; en particulier elle est inversible. L’inégalité ci-dessus s’écrit alors ∑_{i∈J} n_{i}α_{i}(α_{j}^{∨}) ≤ P_{j} ou encore A_{J} \underline{n} ≤ \underline{P}. On a donc A_{J}(\underline{n} − A_{J}^{−1}\underline{P}) ≤ 0 qui implique \underline{n} − A_{J}^{−1}\underline{P} ≤ 0 par le théorème de Vinberg– Kac ([6, 4.3]). Pour finir, on a les inégalités 0 ≤ \underline{n} ≤ A_{J}^{−1}\underline{P}, qui prouvent que Y est fini.

Démonstration. Comme V est supposé de type fini et vérifie les conditions (ii) et (iii) de O_{𝔭}, le sous-𝔭-module engendré par les générateurs de V est de dimension finie. Donc, par le théorème de Poincaré–Birkhoff–Witt, V admet un nombre fini de générateurs comme 𝔲^{−}(J)-module ; pour la suite on suppose qu’il n’y en a qu’un, de poids λ pour 𝔷 : V = U(𝔲^{−}(J))v et P_{𝔷}(V) = λ − Q_{𝔷}^{+}(𝔭). Le 𝔤-module V admet une décomposition en espaces de poids par rapport à 𝔱 par restriction de celle par rapport à 𝔷, d’où la condition (i). Pour prouver les conditions (ii) et (iii) de O_{𝔭,𝔱}, il suffit de montrer que, pour μ ∈ 𝔷^{∗}, la somme directe des V_{ν}, pour ν ∈ 𝔷^{∗} et ν(T) ≥ μ(T), est de dimension finie. Mais celle-ci est engendrée comme espace vectoriel par les (∏_{k=1}^{p} ϕ_{k})v avec ϕ_{k} ∈ 𝔤_{β_{k}}, β_{k} ∈ −Δ^{𝔲}(J) et λ(T) + ∑_{k=1}^{p} β_{k}(T) ≥ μ(T). Or, si β ∈ −Δ^{𝔲}(J), β = − ∑_{i∈I} n_{i}(β)α_{i} avec n_{i}(β) ∈ ℕ et β(T) ≤ −(∑_{i∉J} n_{i}(β))ϵ ≤ −ϵ < 0, où ϵ = inf{α_{i}(T) | i ∉ J}. Comme les espaces 𝔤_{β} sont de dimensions finies, il suffit donc de montrer qu’il n’y a qu’un nombre fini de racines β ∈ −Δ^{𝔲}(J) telles que ∑_{i∉J} n_{i}(β) ≤ (λ(T)−μ(T))/ϵ. Cela résulte du lemme 2.13 ci-dessus.

La proposition suivante nous fournit une égalité entre les deux catégories O_{𝔭,𝔱} et O_{𝔟,𝔱} dans le cas où 𝔱 = 𝔷, modulo une condition ”de finitude” (on rappelle que le parabolique 𝔭 est supposé de type fini) :

Proposition 2.14. Soit V un 𝔤-module. On a équivalence entre les deux assertions suivantes :

(i) V ∈ O_{𝔟} et vérifie : (F) ∀v ∈ V , U(𝔩) · v est de dimension finie.

(ii) V ∈ O_{𝔭}.

Remarque 2.15. Comme les actions de 𝔩 et de 𝔷 commutent, la condition (F) est équivalente à la condition (F′) suivante pour les modules de la catégorie O_{𝔟}:

(F′)  ∀v ∈ V, U(𝔪) · v est de dimension finie.

De plus, si 𝔩 = 𝔩(J), alors la condition (F) (ou (F′)) est équivalente à la condition (F_{J}) ∀i ∈ J, ρ(e_{i}) et ρ(f_{i}) sont localement nilpotents, où ρ est la représentation associée à V .

Démonstration. L’implication (ii) ⇒ (i) est claire, car (F) est vérifiée dès que V appartient à O_{𝔭} (𝔩 stabilise les espaces de poids de 𝔷). Montrons l’implication réciproque (i) ⇒ (ii) : il suffit de montrer qu’un module V de la catégorie O_{𝔟} satisfaisant (F), vérifie les conditions (i), (ii) et (iii) de la définition de O_{𝔭} = O_{𝔭,𝔷}. Pour cela, nous avons besoin du résultat suivant. Rappelons qu’il existe J ⊂ I, de type fini, tel que : 𝔷 = 𝔷(J) = Ker_{𝔥}(α_{i} | i ∈ J) et 𝔩 = 𝔩(J) est engendrée par les e_{i}, f_{i} pour i ∈ J. De plus, pour λ ∈ 𝔥^{∗}, on note λ̄ = λ |_{𝔷}.

Lemme 2.16. Soit V ∈ O_{𝔟} vérifiant (F). Alors, pour tout μ̄ ∈ 𝔷^{∗}, l’ensemble X = {λ ∈ P_{𝔥}(V) | λ̄ ∈ μ̄ + Q_{𝔷}^{+} et λ(α_{i}^{∨}) ∈ ℕ ∀i ∈ J} est fini.

Démonstration. Soit λ ∈ X ; on complète (α_{i})_{i∈I} en une base (α_{i})_{i∈I′} de 𝔥^{∗}, avec I′ ⊃ I ⊃ J, et on écrit λ = ∑_{i∈I′} x_{i}α_{i}. Alors pour i ∉ I, x_{i} = x_{i}^{0} est bien déterminé par μ̄ et pour i ∈ I \ J, x_{i} est également bien déterminé par μ̄ modulo ℕ. Donc pour i ∉ J, x_{i} = x_{i}^{0} + m_{i}, m_{i} ∈ ℕ. Pour j ∈ J, λ(α_{j}^{∨}) = ∑_{i∉J} x_{i}α_{i}(α_{j}^{∨}) + ∑_{i∈J} x_{i}α_{i}(α_{j}^{∨}) ∈ ℕ et

∑_{i∉J} x_{i}α_{i}(α_{j}^{∨}) = \underbrace{∑_{i∉I} x_{i}^{0}α_{i}(α_{j}^{∨})}_{=−a_{j}} + \underbrace{∑_{i∈I\J} m_{i} \underbrace{α_{i}(α_{j}^{∨})}_{≤0}}_{∈−ℕ}

donc on a ∑_{i∈J} x_{i}α_{i}(α_{j}^{∨}) = a_{j} + n_{j}, avec n_{j} ∈ ℕ. On note \underline{x}, \underline{a}, \underline{n} les matrices colonnes des (x_{i})_{i∈J}, (a_{i})_{i∈J}, et (n_{i})_{i∈J} ; on a alors A_{J} \underline{x} = \underline{a} + \underline{n}, et donc \underline{x} = A_{J}^{−1}\underline{a} + A_{J}^{−1}\underline{n}. La matrice A_{J} est une matrice de type fini, en particulier det(A_{J}) ≠ 0 et appartient à ℤ. Donc on a A_{J}^{−1}\underline{n} ∈ (det A_{J})^{−1}ℤ^{J} et d’après [6, 4.3] A_{J}^{−1}(ℝ_{+}^{J}) ⊂ ℝ_{+}^{J}. On a alors A_{J}^{−1}\underline{n} ∈ | det A_{J}|^{−1}ℕ^{J}, et on obtient bien un nombre fini de possibilitées modulo ℕ^{J} pour les x_{i}, i ∈ J. Ainsi X ⊂ P_{𝔥}(V) ∩ (⋃_{fini} λ_{j} + Q^{+}), qui est fini d’après la condition sur les poids de O_{𝔟}.

Montrons que V vérifie les conditions (i), (ii) et (iii) de O_{𝔭} : on obtient une graduation de V par 𝔷^{∗} par restriction : V = ⨁_{μ̄∈𝔷^{∗}} Vμ̄, où Vμ̄ est la somme des V_{μ} avec μ̄ = μ_{|_{𝔷}} et μ ∈ 𝔥^{∗} poids de V , d’où (i). Pour montrer à la fois (ii) et (iii), il suffit de montrer que, pour μ ∈ 𝔥^{∗}, la somme des V_{ν} avec ν̄ ∈ μ̄ + Q_{𝔷}^{+} est de dimension finie. Soit v ∈ V_{ν}, avec ν ∈ 𝔥^{∗} ; par hypothèse (F), U(𝔩) · v est de dimension finie, donc quitte à le décomposer, v appartient au 𝔩-module engendré par un v′ ∈ V_{λ} ⊂ Vν̄, avec λ un poids de V par rapport à 𝔥 tel que λ(α_{i}^{∨}) ∈ ℕ ∀i ∈ J. D’après le lemme 2.16, l’ensemble de ces λ est fini, donc v′ varie dans un espace de dimension finie et, d’après (F), la somme des V_{ν} avec ν̄ ∈ μ̄ + Q_{𝔷}^{+} est de dimension finie.

Corollaire 2.17. Soit V un module de la catégorie O_{𝔭}. Le sous-groupe W (J) de W engendré par les réflexions r_{i} pour i ∈ J agit sur l’ensemble P_{𝔷}(V) des poids de V . Plus précisément, pour tout w ∈ W (J), il existe w̃ agissant sur V , qui permute les poids de V comme w et stabilise les sous-𝔤-modules de V .

Démonstration. Si r_{i} ∈ W (J) et si on note ρ la représentation associée à V , on peut poser r_{i}^{ρ} = exp ρ(e_{i}) exp(−ρ(f_{i})) exp ρ(e_{i}), d’après (F_{J}). Alors r_{i}^{ρ} agit sur V et r_{i}^{ρ}(V_{λ}) = V_{r_{i}(λ)} [6, 3.8].

3. Formes presque-anisotropes et catégories O

Nous étudions dans cette partie des représentations des formes presque-anisotropes qui appartiennent à une certaine catégorie O^{K} ou encore O_{𝔟}^{K}.

Soient K un corps de caractéristique nulle et \overline{K} une clôture algébrique de K. On considère 𝔤 = 𝔤(A) une \overline{K}-algèbre de Kac–Moody, où A est une matrice de Cartan généralisée sans facteur de type fini. On note 𝔤_{K} une K-forme presque anisotrope de 𝔤.

On considère les catégories O et O_{𝔟} relatives à un couple (𝔥, 𝔟^{+}), où 𝔥 est une sous-algèbre de Cartan de 𝔤 contenue dans une sous-algèbre de Borel 𝔟^{+} de 𝔤 et définie sur K. Alors il existe un élément σ du groupe de Galois Γ de \overline{K}/K tel que : σ(𝔟^{+}) = w𝔟^{−} pour w ∈ W. On a alors aussi σQ_{+} = wQ_{−}.

On note O^{K} (resp. O_{𝔟}^{K}) la catégorie dont les objets sont les 𝔤_{K}-modules V_{K} vérifiant V_{K} ⊗_{K} \overline{K} ∈ O (resp. ∈ O_{𝔟}) et dont les morphismes sont les homomorphismes de 𝔤_{K}-modules.

Théorème 3.1. Les 𝔤_{K}-modules de la catégorie O^{K} sont des 𝔤_{K}-modules de dimension finie ; plus précisément, ce sont des modules sur l’abélianisé 𝔤_{K}/[𝔤_{K}, 𝔤_{K}] de 𝔤_{K}. Réciproquement, tout 𝔤_{K}-module de dimension finie est dans O^{K}.

Remarque 3.2. Tout sous-𝔤_{K}-module de type fini d’un module de la catégorie O_{𝔟}^{K} est dans O^{K}, donc de dimension finie. Ainsi un module de la catégorie O_{𝔟}^{K} est réunion croissante de modules de dimension finie.

Démonstration. Soit V_{K} ∈ O^{K} ; on note V = V_{K} ⊗_{K} \overline{K}. Comme V ∈ O et que l’ensemble des poids de V , noté P (V), est stable par σ, on a :

P (V) ⊂ ⋃_{i=1}^{n}(λ_{i} − Q_{+}) ∩ ⋃_{i=1}^{n}(σλ_{i} − wQ_{−})

On note ρ la représentation associée à V . Une racine réelle α est dite bonne si ρ(e_{α}) et ρ(f_{α}) sont localement nilpotents. Si α est une racine réelle positive telle que σα < 0 (c.-à-d. wα > 0), alors α et −α sont bonnes. On note Δ_{b}^{re} l’ensemble des bonnes racines. Soit W′ le sous-groupe du groupe de Weyl W engendré par les réflexions fondamentales par rapport aux bonnes racines ; W′ agit sur V et stabilise P (V). De plus W′ stabilise Δ_{b}^{re}. Et si on note Δ_{m} = Δ^{re} \ Δ_{b}^{re}, W′ stabilise aussi Δ_{m}. On a Δ_{m}^{+} ⊂ Δ^{+} ∩ wΔ^{−} donc Δ_{m} est fini. On peut en fait montrer le lemme suivant :

Lemme 3.3. L’ensemble Δ_{m} est vide.

Démonstration. Supposons que Δ_{m} ≠ Ø. On peut alors supposer que Δ_{m} ∩ Π ≠ Ø, sinon Π ⊂ Δ_{b}^{re}, W′ = W et Δ^{re} = Δ_{b}^{re}.

Si Π est infini. Soit S la réunion (finie) des supports des racines dans Δ_{m} et soit α une racine de Δ_{m} telle que : supp(α) ⊂ S et il existe α_{i} ∈ Δ_{b}^{re} ∩ Π telle que α et α_{i} soient liés. Alors r_{i}(α) = α − ⟨α, α_{i}^{∨}⟩α_{i} appartient à Δ_{m} et on a supp(r_{i}(α)) = supp(α) ∪ {i} ⊄ S, ce qui est absurde.

Si Π est fini. On suppose de plus que A est indécomposable. Soit α_{i} ∈ Δ_{m} ∩ Π ; on note N la hauteur maximale des racines dans Δ_{m}^{+} : on a −N ≤ ht(Δ_{m}) ≤ N. Soit Δ^{N+2} = {α ∈ Δ^{re} | ht(α) ≥ N + 2} ; Δ^{N+2} ≠ Ø car Δ^{re} est infini et Δ^{N+2} ⊂ Δ_{b}^{re}. On a ⟨α_{i}, (Δ^{N+2})^{∨}⟩ ≢ 0 ; sinon ⟨α_{i}, α^{∨}⟩ = 0 sauf au plus pour un nombre fini de racines réelles. Ce qui implique que α_{i} appartient au cône de Tits fermé [6, 3.12]. Donc il existe w_{0} ∈ W tel que w_{0}α_{i} ∈ \overline{C}, où \overline{C} désigne l’adhérence de la chambre fondamentale C, autrement dit Aw_{0}α_{i} ≥ 0. ▪ Si A est de type affine, cela implique que w_{0}α_{i} est une racine imaginaire, ce qui est absurde car w_{0}α_{i} est par hypothèse une racine réelle. ▪ Si A est de type indéfini, alors : si w_{0}α_{i} > 0, c’est absurde par le théorème de Vinberg–Kac ([6, 4.3]), car on a aussi Aw_{0}α_{i} ≥ 0 ; si w_{0}α_{i} < 0, alors w_{0}r_{i}α_{i} > 0 et Aw_{0}r_{i}α_{i} ≤ 0, ce qui est également absurde car ⟨w_{0}r_{i}α_{i}, w_{0}r_{i}α_{i}^{∨}⟩ = 2.

Donc il existe α ∈ Δ^{N+2} tel que ⟨α_{i}, α^{∨}⟩ ≠ 0. On considère r_{α}(α_{i}) = α_{i} − ⟨α_{i}, α^{∨}⟩α ; c’est une racine telle que ht(r_{α}(α_{i})) > N + 2 si ⟨α_{i}, α^{∨}⟩ < 0 et ht(r_{α}(α_{i})) < −(N + 1) si ⟨α_{i}, α^{∨}⟩ > 0. Dans les deux cas, r_{α}(α_{i}) n’appartient donc pas à Δ_{m}, ce qui contredit le fait que W′ stabilise Δ_{m}.

Grâce au lemme, on obtient que W = W′ et donc que W stabilise P (V). On a alors

P (V) ⊂ ⋃_{i=1}^{n}(λ_{i} − Q_{+}) ∩ ⋃_{i=1}^{n}(w^{−1}σλ_{i} − Q_{−})

et donc

P (V) ⊂ ⋃_{i=1}^{n}(λ_{i} − Q_{+}) ∩ ⋃_{i=1}^{n}(μ_{i} + Q_{+})

avec μ_{i} = w^{−1}σλ_{i}. Les poids du 𝔤-module V , qui sont de multiplicités finies, sont en nombre fini ; V est donc un 𝔤-module de dimension finie. On conclut grâce à la remarque suivante, puisque la réciproque est évidente.

Les modules de dimension finie d’une algèbre de Kac–Moody 𝔤 (sans facteur de type fini) sont des modules sur l’abélianisé 𝔤/𝔤′ de 𝔤, ils sont donc de dimension 1 quand ils sont simples et si K = \overline{K}. En effet si (V, ρ) est une représentation de dimension finie de 𝔤, alors 𝔤/ Ker ρ est de dimension finie. Donc l’idéal Ker ρ contient 𝔤′ [6, 1.7] et (V, ρ) est une représentation de l’algèbre de Lie abélienne 𝔤/𝔤′.

Les conditions d’une catégorie O ou même O_{𝔟} s’avèrent trop fortes pour obtenir des résultats intéressants pour les modules sur une forme presque anisotrope.

Par contre nous pouvons obtenir [2] des représentations irréductibles de dimension finie aussi grande que l’on veut pour une forme réelle presque-anisotopre de l’algèbre dérivée d’une algèbre de Kac–Moody affine (non tordue).

Nous obtenons aussi [2], sous les conditions d’une catégorie O non standard (voir par exemple [5]), des représentations de dimension infinie (et monogènes) pour une forme réelle presque anisotrope d’une algèbre de Kac–Moody affine (non tordue).

4. Formes presque déployées et catégorie O_{𝔭}^{K}

Dans toute cette partie, on considère 𝔤_{K} une K-forme presque déployée de 𝔤. Le résultat essentiel de cette partie se montre en deux temps, tout d’abord (paragraphe 4.4.) on construit des modules simples de O_{𝔭}^{K}, et ensuite (paragraphe 4.5.) on montre que ces modules sont les seuls objets simples de cette catégorie. Mais commençons par la mise en place des différents outils.

4.1. On considère 𝔱_{K} une sous-algèbre torique K-déployée maximale de 𝔤_{K}, c’est-à-dire une sous-algèbre pour laquelle la représentation adjointe dans 𝔤_{K} est diagonalisable, et 𝔭_{K}^{ϵ} une K-sous-algèbre parabolique minimale de signe ϵ de 𝔤_{K} (il en existe).

Pour tout signe ϵ, le groupe G_{K} agit transitivement sur les paires (𝔱_{K}, 𝔭_{K}^{ϵ}), avec 𝔱_{K} ⊂ 𝔭_{K}^{ϵ} [10, 3.5]. On dit alors qu’une paire (𝔱_{K}, 𝔭_{K}^{ϵ}), avec 𝔱_{K} ⊂ 𝔭_{K}^{ϵ}, est une standardisation de 𝔤_{K} de signe ϵ.

Proposition 4.1. Pour toute standardisation (𝔱_{K}, 𝔭_{K}^{+}) de 𝔤_{K}, il existe une sous-algèbre de Cartan 𝔥_{K} de 𝔤_{K} et une sous-algèbre de Borel positive 𝔟^{+} de 𝔤 telles que : 𝔱 ⊂ 𝔥 ⊂ 𝔟^{+} ⊂ 𝔭^{+}. Il existe une partie de type fini I_{0} de I telle que 𝔭^{+} = 𝔭^{+}(I_{0}) pour la standardisation (𝔥, 𝔟^{+}) de 𝔤. La sous-algèbre parabolique 𝔭^{−} = 𝔭^{−}(I_{0}) est définie sur K et minimale ; elle ne dépend que de 𝔱 et 𝔭^{+}.

On peut touver la preuve de ce résultat dans [1, 2.2] et [9, 4.3 et 4.7b]. On dit alors que la standardisation (𝔱_{K}, 𝔭_{K}^{−}) de 𝔤_{K} est opposée à (𝔱_{K}, 𝔭_{K}^{+})

et que la standardisation (𝔥, 𝔟^{+}) de 𝔤 est compatible avec (𝔱_{K}, 𝔭_{K}^{+}).

Pour toute la suite, on fixe une standardisation (𝔱_{K}, 𝔭_{K}^{+}) de 𝔤_{K} et une standardisation (𝔥, 𝔟^{+}) de 𝔤 compatible.

Proposition 4.2. L’algèbre dérivée 𝔩_{K} du centralisateur 𝔪_{K} de 𝔱_{K} est la sousalgèbre de Levi de 𝔭_{K}^{+} relative à 𝔥_{K}. C’est une sous-algèbre de Lie semi-simple définie sur K et K-anisotrope. Le système de racines Δ_{0} de 𝔩 par rapport à 𝔥 ∩ 𝔩 admet pour base Π_{0} = {α_{i} | i ∈ I_{0}}. Le groupe de Weyl W_{0} de 𝔩 par rapport à 𝔥 ∩ 𝔩 est engendré par les r_{i} pour i ∈ I_{0} ; il agit simplement transitivement sur les sous-algèbres de Borel 𝔟_{1}^{+} de 𝔤 telles que 𝔥 ⊂ 𝔟_{1}^{+} ⊂ 𝔭^{+}.

On peut touver la preuve de ce résultat dans [1, 2.3], [9, 3.5e et 4.7b] et [10, 3.11].

La sous-algèbre 𝔩_{K} s’appelle le noyau anisotrope de (𝔤_{K}, 𝔱_{K}).

Remarque 4.3. La forme 𝔤_{K} est dite quasi-déployée s’il existe une sousalgèbre de Borel définie sur K, c’est-à-dire si 𝔭_{K}^{+} est une sous-algèbre de Borel, ce qui équivaut à I_{0} = Ø, ou encore à 𝔩_{K} = {0}.

Dans la suite, on note 𝔩 = 𝔩(I_{0}), et 𝔥 ∩ 𝔩 = 𝔥(I_{0}) (engendré par les α_{i}^{∨} pour i ∈ I_{0}). On a Δ_{0} = Δ ∩ (⨁_{i∈I_{0}} ℤα_{i}). On peut écrire la décomposition de 𝔭^{+}(I_{0}) : 𝔭^{+}(I_{0}) = 𝔭(I_{0}) = 𝔲(I_{0}) ⊕ 𝔪(I_{0}), avec 𝔲(I_{0}) = 𝔲^{+}(I_{0}) = ⨁_{α∈Δ^{+}\Δ_{0}} 𝔤_{α} et 𝔪(I_{0}) = 𝔥⊕(⨁_{α∈Δ_{0}} 𝔤_{α}) le centralisateur de 𝔱_{K}. On a donc aussi la décomposition : 𝔪(I_{0}) = 𝔷 ⊕ 𝔩(I_{0}), où 𝔷 est le centre de 𝔪(I_{0}).

Par définition, Γ est formé d’automorphismes (semi-linéaires) de première espèce ; donc, pour γ dans Γ, γ𝔟^{+} est une sous-algèbre de Borel positive vérifiant 𝔥 ⊂ γ𝔟^{+} ⊂ 𝔭(I_{0}). Il existe alors, d’après la proposition 4.2, un unique élément w_{γ} de W_{0} tel que w_{γ}γ𝔟^{+} = 𝔟^{+}. On note γ^{∗} = w_{γ}γ, cet élément stabilise les sous-algèbres 𝔥 et 𝔟. On définit donc une action, notée ∗, de Γ sur Δ, Π et I, qui stabilise I_{0} [1, 2.4].

Remarque 4.4. L’action ∗ de Γ sur I est indépendante du choix du signe + et des standardisations compatibles (𝔱_{K}, 𝔭_{K}^{+}) et (𝔥, 𝔟^{+}).

4.2. Nous allons maintenant nous intéresser aux représentations des K-formes presque déployées, et plus particulièrement à celles qui, une fois tensorisées par \overline{K}, appartiennent à la catégorie O_{𝔟}.

Définition 4.5. Soit O_{𝔭}^{K} (resp. O_{𝔭,𝔱}^{K}) la catégorie dont les objets sont les 𝔤_{K}- modules V_{K} vérifiant V_{K} ⊗_{K} \overline{K} ∈ O_{𝔭} (resp. O_{𝔭,𝔱}) et dont les morphismes sont les homomorphismes de 𝔤_{K}-modules.

D’après la proposition 2.10, pour tout V_{K} dans la catégorie O_{𝔭}^{K}, V_{K} ⊗_{K} \overline{K} est dans la catégorie O_{𝔟} (quelle que soit la sous-algèbre de Borel 𝔟 de 𝔤 contenue dans 𝔭). La proposition suivante nous fournit la réciproque de ce résultat.

Proposition 4.6. Soit V_{K} un 𝔤_{K}-module. Si V = V_{K} ⊗_{K} \overline{K} ∈ O_{𝔟} , alors V_{K} ∈ O_{𝔭}^{K}.

Démonstration. Commençons par démontrer le lemme suivant :

Lemme 4.7. Si i ∈ I_{0}, il existe γ dans Γ tel que γα_{i} < 0.

Démonstration. Notons Φ l’orbite de α_{i} sous Γ. On suppose que γα_{i} > 0 ∀γ ∈ Γ et ∀i ∈ I_{0}. Alors Φ est un sous-ensemble fini (remarque 1.3) non vide de Δ_{0}^{+}, stable par Γ. On note ρ^{∨} = ∑_{α∈Φ} α^{∨}. Alors ρ^{∨} est non nul, fixe par Γ et α(ρ^{∨}) ∈ ℤ pour tout α ∈ Δ_{0}. Donc ρ^{∨} est un élément K-diagonalisable de 𝔥(I_{0}). On a alors une sous-algèbre torique déployée Kρ^{∨} de 𝔩_{K}, qui est une sous-algèbre semi-simple et K-anisotrope de 𝔤, ce qui est absurde.

Soit V = V_{K} ⊗_{K} \overline{K} et V ∈ O_{𝔟} ; il suffit de montrer que le 𝔤-module V vérifie la condition suivante : (F_{I_{0}} ) ρ(e_{i}) et ρ(f_{i}) sont localement nilpotents ∀i ∈ I_{0}, où ρ est la représentation associée à V . En effet, on a vu à la partie 2. (proposition 2.14) que : V ∈ O_{𝔟} et V vérifie (F_{I_{0}} ) ⇒ V ∈ O_{𝔭}. Comme V = V_{K} ⊗_{K} \overline{K} appartient à la catégorie O_{𝔟}, on a d’une part P (V) ∩ (λ + Q^{+}) fini ∀λ ∈ 𝔥^{∗}, et d’autre part P (V) stable par Γ. Si μ ∈ P (V) et α ∈ Δ est tel qu’il existe γ ∈ Γ tel que γα < 0, alors {n ∈ ℕ | μ − nγα ∈ P (V)} est un ensemble fini. Donc {n ∈ ℕ | μ − nα ∈ P (V)} est fini, pour tout μ ∈ P (V) et tout α ∈ Δ tel qu’il existe γ ∈ Γ tel que γα < 0. Grâce au lemme 4.7, on obtient que {n ∈ ℕ | μ − nα_{i} ∈ P (V)} est fini, pour tout μ ∈ P (V) et pour tout i ∈ I_{0}. Comme {n ∈ ℕ | μ + nα_{i} ∈ P (V)} est fini, ceci implique que ρ(e_{i}) et ρ(f_{i}) sont localement nilpotents ∀i ∈ I_{0}.

Les représentations des K-formes presque déployées que l’on va étudier sont associées aux 𝔤_{K}-modules de la catégorie O_{𝔭}^{K}.

4.3. Le but de ce paragraphe est de mettre en évidence une correspondance bijective, décrite dans la proposition 4.9, entre les 𝔤_{K}-modules simples de la catégorie O_{𝔭}^{K} et les modules simples de la sous-algèbre réductive 𝔪_{K} de 𝔤_{K}.

On se donne une sous-algèbre 𝔱 de 𝔷 dont le centralisateur est 𝔪(I_{0}). On note L_{λ,I_{0}} le sous-𝔩(I_{0})-module engendré par v_{λ}, vecteur de plus haut

poids de L_{λ} ; c’est un quotient du 𝔩(I_{0})-module de Verma de plus haut poids λ |_{𝔥(I_{0})} (on va voir que c’est en fait le quotient irréductible).

On utilise la notation (L_{λ})^{𝔲(I_{0})} = {v ∈ L_{λ} | 𝔲(I_{0}) · v = 0}.

Proposition 4.8. Le module L_{λ} appartient à la catégorie O_{𝔭} si et seulement si λ(α_{i}^{∨}) ∈ ℕ pour tout i ∈ I_{0}. Alors L_{λ} est l’unique quotient irréductible de M_{λ,I_{0}} = U(𝔤) ⊗_{U(𝔭)} L_{λ,I_{0}} et L_{λ,I_{0}} = (L_{λ})^{𝔲(I_{0})} est un 𝔩(I_{0})-module simple de plus haut poids λ|_{𝔥(I_{0})}. De plus, L_{λ,I_{0}} est dans L_{λ} (ou M_{λ,I_{0}} ) l’espace propre de poids λ̄ = λ |_{𝔷} pour l’action de 𝔷.

Démonstration. L’hypothèse L_{λ} ∈ O_{𝔭} implique que L_{λ,I_{0}} est de dimension finie et donc que λ(α_{i}^{∨}) ∈ ℕ pour tout i ∈ I_{0}. Réciproquement supposons maintenant cette hypothèse. L’espace propre de L_{λ} de poids λ̄ est X = ⨁_{μ̄=λ̄}(L_{λ})_{μ}, avec μ̄ = μ |_{𝔷}. Si (L_{λ})_{μ} ≠ {0}, on a μ = λ − ∑_{i∈I} n_{i}α_{i} et μ̄ = λ̄ ⇔ n_{i} = 0 pour i ∉ I_{0}. Alors montrons que L_{λ,I_{0}} = X : on a déjà L_{λ,I_{0}} ⊂ X. Soit v ∈ (L_{λ})_{μ}, avec μ = λ−∑_{i∈I_{0}} n_{i}α_{i} ; alors v peut s’écrire ∏_{k=1}^{p} f_{jk}v_{λ}, avec ∑_{k=1}^{p} α_{jk} = ∑_{i∈I_{0}} n_{i}α_{i}. D’où j_{k} ∈ I_{0} pour tout k, et donc v ∈ L_{λ,I_{0}} .

Le sous-𝔩(I_{0})-module L_{λ,I_{0}} (et tout sous-𝔩(I_{0})-module) est en fait un 𝔭(I_{0})- module, la sous-algèbre 𝔷 agissant de façon scalaire (par λ̄), et la sous-algèbre 𝔲(I_{0}) agissant trivialement sur L_{λ,I_{0}} . En particulier un sous-𝔩(I_{0})-module propre P de L_{λ,I_{0}} engendre un sous-𝔤-module de L_{λ} dont la partie de poids λ̄ par rapport à 𝔷 est P, ce sous-𝔤-module est donc propre. Or L_{λ} est un 𝔤-module simple donc L_{λ,I_{0}} est un 𝔩(I_{0})-module simple et à plus haut poids. La condition sur les λ(α_{i}^{∨}) implique que L_{λ,I_{0}} est de dimension finie.

On obtient le 𝔤-module L_{λ} comme un quotient irréductible de M_{λ,I_{0}} = U(𝔤) ⊗_{U(𝔭)} L_{λ,I_{0}} . Mais L_{λ,I_{0}} est dans ce module M_{λ,I_{0}} l’espace propre de poids λ̄ pour 𝔷, donc la somme de tous les sous-𝔤-modules d’intersection nulle avec L_{λ,I_{0}} est encore un sous-𝔤-module d’intersection nulle avec L_{λ,I_{0}} , et on la note N. De plus, comme L_{λ,I_{0}} est 𝔩(I_{0})-irréductible, tout sous-𝔤-module d’intersection non nulle avec L_{λ,I_{0}} n’est pas propre car il contient L_{λ,I_{0}} et en particulier v_{λ}, donc M_{λ,I_{0}} . L’unicité du quotient irréductible vient du fait que l’on quotiente par N.

Montrons que L_{λ} est dans la catégorie O_{𝔭}. Il suffit de montrer les conditions (ii) et (iii) ; pour cela il suffit de montrer que pour μ̄ ∈ 𝔷^{∗}, la somme directe des (L_{λ})ν̄ pour ν̄ ∈ μ̄+Q_{𝔷}^{+}(𝔭) est de dimension finie. Mais celle-ci est engendrée comme espace vectoriel par les (∏_{k=1}^{p} ϕ_{k})v avec v ∈ L_{λ,I_{0}} , ϕ_{k} ∈ 𝔤_{β_{k}}, β_{k} ∈ −Δ^{𝔲}(I_{0}) et λ̄ + ∑_{k=1}^{p} β̄_{k} ∈ μ̄ + Q_{𝔷}^{+}(𝔭). Choisissons T ∈ 𝔷 tel que α_{i}(T) = 1 ∀i ∈ I − I_{0}. La relation précédente implique λ(T) + ∑_{k=1}^{p} β_{k}(T) ≥ μ(T). Comme les espaces 𝔤_{β} sont de dimension finie, il suffit de montrer qu’il n’y a qu’un nombre fini de racines β̄ ∈ −Δ^{u}(I_{0}) telle que β(T) ≥ μ(T) − λ(T). Mais cela résulte du lemme 2.13.

Le dernier point consiste à montrer que l’on a L_{λ,I_{0}} = (L_{λ})^{𝔲(I_{0})}. On sait déjà que L_{λ,I_{0}} ⊂ (L_{λ})^{𝔲(I_{0})} ; montrons l’inclusion inverse. On a (M_{λ})^{𝔲(I_{0})} ⊃ L_{λ,I_{0}} , et comme (M_{λ})^{𝔲(I_{0})} est stable par 𝔷, on a :

(M_{λ})^{𝔲(I_{0})} = L_{λ,I_{0}} ⊕ (⨁_{{μ∈𝔷^{∗} \atop μ<λ̄}} ((M_{λ})^{𝔲(I_{0})})_{μ})

On note V_{μ} = ((M_{λ})^{𝔲(I_{0})})_{μ} pour μ ∈ 𝔷^{∗}, μ < λ̄. V_{μ} est annulé par 𝔲(I_{0}), stable par 𝔪(I_{0}), donc V_{μ} est stable par 𝔭(I_{0}). On a alors : U(𝔤) · V_{μ} = U(𝔲^{−}(I_{0})) · U(𝔭(I_{0})) · V_{μ} = U(𝔲^{−}(I_{0})) · V_{μ}, ce qui montre que U(𝔤) · V_{μ} n’admet que des poids strictement inférieurs à λ̄. Donc U(𝔤) · V_{μ} est d’intersection nulle avec L_{λ,I_{0}} pour tout μ ∈ 𝔷^{∗}. Alors U(𝔤) · V_{μ} ⊂ N et (L_{λ})^{𝔲(I_{0})} ⊂ L_{λ,I_{0}} .

On va maintenant utiliser le résultat précédent dans le cadre des 𝔤_{K}- modules. Cela nous fournit la correspondance bijective cherchée qui sera utilisée pour la construction des modules simples de la catégorie O_{𝔭}^{K}.

Proposition 4.9. (i) Soit V_{K} un 𝔤_{K}-module (resp. simple) de O_{𝔭}^{K} tel que V_{K} ⊗_{K} \overline{K} = ⨁_{λ∈𝔥^{∗}} L_{λ}^{n(λ)}, avec les n(λ) entiers et presque tous nuls. Alors (V_{K})^{𝔲_{K}(I_{0})} est un 𝔪_{K}(I_{0})-module semi-simple (resp. simple) de dimension finie et V_{K} est induit à partir de (V_{K})^{𝔲_{K}(I_{0})} : c’est le quotient (resp. irréductible) de U_{K}(𝔤_{K}) ⊗_{U_{K}(𝔭_{K})} (V_{K})^{𝔲_{K}(I_{0})} par le plus grand sous-module propre d’intersection nulle avec (V_{K})^{𝔲_{K}(I_{0})}. En particulier, si V_{K} est un 𝔤_{K}- module tel que V_{K} ⊗_{K} \overline{K} = L_{λ} ∈ O_{𝔭}, alors V_{K} est le quotient irréductible de U_{K}(𝔤_{K}) ⊗_{U_{K}(𝔭_{K})} L_{λ,I_{0},K}, avec L_{λ,I_{0},K} = (L_{λ,I_{0}})^{Γ} pour une action de Γ sur L_{λ,I_{0}} .

(ii) Soit W_{K} un 𝔪_{K}(I_{0})-module simple de dimension finie. Alors il existe un 𝔤_{K}-module simple V_{K} de la catégorie O_{𝔭}^{K} tel que V_{K} ⊗_{K} \overline{K} = ⨁_{λ∈𝔥^{∗}} L_{λ}^{n(λ)} et (V_{K})^{𝔲_{K}(I_{0})} = W_{K}. De plus, ce 𝔤_{K}-module est unique à isomorphisme près.

Remarque 4.10. Un 𝔤_{K}-module de la catégorie O_{𝔭}^{K} qui, sur \overline{K}, est de la forme ⨁ L_{λ}^{n(λ)} sera dit décomposé sur \overline{K} ; on verra (Corollaire 4.14) que tout 𝔤_{K}-module simple est en fait décomposé.

Démonstration. On va prouver dans un premier temps le résultat (i) dans le cas particulier d’un 𝔤_{K}-module V_{K} tel que V_{K}⊗_{K}\overline{K} = L_{λ} ∈ O_{𝔭}. Comme L_{λ} ∈ O_{𝔭}, on peut écrire, d’après la proposition 4.8, L_{λ} comme le quotient irréductible de U(𝔤) ⊗_{U(𝔭)} L_{λ,I_{0}} . Il faut s’assurer que l’on a la compatibilité avec l’action de Γ. Mais comme L_{λ,I_{0}} = (L_{λ})^{𝔲(I_{0})}, L_{λ,I_{0}} est stable par Γ. Il reste à montrer que (L_{λ})^{Γ} est bien le quotient irréductible de U_{K}(𝔤_{K}) ⊗_{U_{K}(𝔭_{K})}L_{λ,I_{0},K} : si (e_{i})_{i∈J} est une base sur \overline{K} de U(𝔲^{−}(I_{0})) formée d’éléments fixes par Γ, on a : M_{λ,I_{0}} = ⨁_{i∈J} e_{i} ⊗L_{λ,I_{0}} , et donc :

(M_{λ,I_{0}})^{Γ} = ⨁_{i∈J} e_{i} ⊗ L_{λ,I_{0},K} = 𝔪!athcalU_{K}(𝔤_{K}) ⊗_{U_{K}(𝔭_{K})} L_{λ,I_{0},K}.

Ainsi M_{λ,I_{0}} est engendré par (M_{λ,I_{0}})^{Γ} sur \overline{K}. Comme N est un sous-\overline{K}-espace vectoriel de M_{λ,I_{0}} stable par Γ, N^{Γ} engendre N sur \overline{K}. On a donc (L_{λ})^{Γ} = (M_{λ,I_{0}})^{Γ}/N^{Γ}, d’où le résultat.

Supposons maintenant le 𝔤_{K}-module V_{K} de O_{𝔭}^{K} tel que V_{K} ⊗_{K} \overline{K} = ⨁_{λ∈𝔥^{∗}} L_{λ}^{n(λ)}, avec les n(λ) entiers et presque tous nuls. On a, d’après la proposition 4.8, (V_{K} ⊗_{K} \overline{K})^{𝔲(I_{0})} = ⨁_{λ} L_{λ,I_{0}}^{n(λ)}, ce qui montre que (V_{K} ⊗_{K} \overline{K})^{𝔲(I_{0})} est un 𝔪(I_{0})- module semi-simple de dimension finie (l’action de 𝔷 sur L_{λ,I_{0}} est scalaire), stable par Γ, et donc engendré par (V_{K})^{𝔲_{K}(I_{0})}. Donc (V_{K})^{𝔲_{K}(I_{0})} est un 𝔪_{K}(I_{0})-module semi-simple de dimension finie. On a aussi (encore d’après la proposition 4.8)

V_{K} ⊗_{K} \overline{K} = quot(U(𝔤) ⊗_{U(𝔭)} (V_{K} ⊗_{K} \overline{K})^{𝔲(I_{0})})

et donc

V_{K} = quot(U_{K}(𝔤_{K}) ⊗_{U_{K}(𝔭_{K})} (V_{K})^{𝔲_{K}(I_{0})})

où l’on quotiente par le plus grand sous-module propre d’intersection nulle avec (V_{K})^{𝔲_{K}(I_{0})}.

Supposons de plus! que V_{K} est simple et (V_{K})^{𝔲_{K}(I_{0})} = V_{1} ⊕ V_{2}, avec V_{1} et V_{2} deux sous-𝔪_{K}(I_{0})-modules, on a alors :

V_{K} = quot(U_{K}(𝔤_{K}) ⊗_{U_{K}(𝔭_{K})} V_{1}) ⊕ quot(U_{K}(𝔤_{K}) ⊗_{U_{K}(𝔭_{K})} V_{2})

ce qui contredit l’irréductibilité de V_{K}. Donc (V_{K})^{𝔲_{K}(I_{0})} est un 𝔪_{K}(I_{0})-module simple de dimension finie. (ii) Soit W_{K} un 𝔪_{K}(I_{0})-module simple de dimension finie (l’action de 𝔷_{K} sur W_{K} est semi-simple) et on pose W = W_{K} ⊗_{K} \overline{K}. Alors W est un 𝔪(I_{0})-module de dimension finie, avec une action diagonalisable de 𝔷. On a donc : W = ⨁_{ν∈𝔷^{∗}} W_{ν} Or, pour tout ν ∈ 𝔷^{∗}, W_{ν} est stable sous l’action de 𝔩(I_{0}), donc on obtient :

W_{ν} = ⨁_{{μ∈𝔥(I_{0})^{∗} \atop μ(α^{∨}_{i})∈ℕ∀i∈I_{0}}} L_{μ,I_{0},ν}^{n(μ,ν)} ,

où L_{μ,I_{0},ν} est le 𝔩(I_{0})-module simple, de plus haut poids μ ∈ 𝔥(I_{0})^{∗}, de dimension finie et contenu dans W_{ν}. On peut écrire :

W = ⨁_{{ν∈𝔷^{∗} \atop μ∈𝔥(I_{0})^{∗}} ; μ(α^{∨}_{i})∈ℕ∀i∈I_{0}} L_{μ,I_{0},ν}^{n(μ,ν)} = ⨁_{{λ∈𝔥^{∗} \atop λ(α^{∨}_{i})∈ℕ∀i∈I_{0}}} L_{l!ambda,I_{0}}^{n(λ)}

la correspondance λ ↔ (μ, ν) vient de ce que 𝔥 = 𝔥(I_{0})⊕𝔷. On note V_{K} le quotient simple de U_{K}(𝔤_{K}) ⊗_{U_{K}(𝔭_{K})} W_{K}, où l’on quotiente par la somme N_{K} de tous les sous-modules d’intersection nulle avec W_{K} : cette somme est d’intersection nulle avec W_{K}, donc V_{K} ≠ {0} ; et comme W_{K} est simple, tout sous-module propre est d’intersection nulle avec W_{K}, donc V_{K} est simple. Si on note N l’analogue de N_{K} dans V vis à vis de W, il est clair que N est stable par Γ donc N_{K} = N^{Γ} et N = N_{K} ⊗_{K} \overline{K}, on a alors :

V = V_{K} ⊗_{K} \overline{K} = quot(U(𝔤) ⊗_{U(𝔭)} W)
= quot(U(𝔤) ⊗_{U(𝔭)} ⨁_{{λ∈𝔥^{∗} \atop λ(α^{∨}_{i})∈ℕ∀i∈I_{0}}} L_{λ,I_{0}}^{n(λ)})
= ⨁_{{λ∈𝔥^{∗} \atop λ(α^{∨}_{i})∈ℕ∀i∈I_{0}}} quot(U(𝔤) ⊗_{U(𝔭)} L_{λ,I_{0}}^{n(λ)})
= ⨁_{{λ∈𝔥^{∗} \atop λ(α^{∨}_{i})∈ℕ∀i∈I_{0}}} L_{λ}^{n(λ)}

Le 𝔤_{K}-module V_{K}, construit ci-dessus, vérifie bien les conditions souhaitées : V_{K} est simple et V_{K} ⊗_{K} \overline{K} = ⨁_{λ∈𝔥^{∗}} L_{λ}^{n(λ)} ∈ O_{𝔭} car, d’après la proposition 4.8, λ(α_{i}^{∨}) ∈ ℕ ∀i ∈ I_{0} ⇒ L_{λ} ∈ O_{𝔭}. L’unicité vient du fait que, dans le point (i), le 𝔤_{K}-module V_{K} est bien tel que l’on vient de le construire.

4.4. Dans ce paragraphe, nous allons construire des 𝔤_{K}-modules irréductibles de la catégorie O_{𝔭}^{K}. Nous utilisons dans la suite les résultats de J. Tits sur les représentations d’une algèbre de Lie réductive sur un corps quelconque [11].

Pour λ ∈ 𝔥^{∗} poids dominant de 𝔪_{K} = 𝔪_{K}(I_{0}), on note ^{K}V_{λ} le 𝔪_{K}-module associé à la représentation ^{K}ρ_{λ} définie par J. Tits [11, 7.1]. Cette représentation est irréductible sur K et toute K-représentation irréductible de 𝔪_{K} est K-isomorphe à une représentation de la forme ^{K}ρ_{λ} [11, 7.2].

On va construire un 𝔤_{K}-module que l’on notera L_{Γ^{∗}λ,K}, à partir de ce 𝔪_{K}(I_{0})-module. En effet, grâce à la proposition 4.9 (ii), on construit, à partir du 𝔪_{K}(I_{0})-module ^{K}V_{λ}, un 𝔤_{K}-module simple V_{K} qui vérifie : V_{K} ⊗_{K} \overline{K} = ⨁_{λ∈𝔥^{∗}} L_{λ}^{n(λ)} ∈ O_{𝔭} et (V_{K})^{𝔲_{K}(I_{0})} =^{K} V_{λ}. Ainsi V_{K} est le quotient irréductible de U_{K}(𝔤_{K}) ⊗_{U_{K}(𝔭_{K})} (^{K}V_{λ}), et V_{K} ⊗_{K} \overline{K} = quot(U(𝔤) ⊗_{U(𝔭)} (^{K}V_{λ} ⊗_{k} \overline{K})) (La notation “quot” est introduite dans la démonstration du résultat précédent). Or, d’après [11, 7.4], ^{K}V_{λ} ⊗_{k} \overline{K} = ⨁_{μ∈Γ^{∗}λ} L_{μ,I_{0}}^{d}, donc V_{K} ⊗_{K} \overline{K} = ⨁_{μ∈Γ^{∗}λ} L_{μ}^{d} et on note L_{Γ^{∗}λ} ce 𝔤-module. On a construit un 𝔤_{K}-module simple de la catégorie O_{𝔭}^{K} ; on a V_{K} = (L_{Γ^{∗}λ})^{Γ} pour une action du group! e de Galois et on note V_{K} = L_{Γ^{∗}λ,K}. D’après [11, 7.2], ce 𝔤_{K}-module simple L_{Γ^{∗}λ,K} ne dépend que de Γ^{∗}λ et K.

Le résultat suivant nous fournit des modules simples de la catégorie O_{𝔭}^{K} :

Théorème 4.11. Soit V_{K} un 𝔤_{K}-module simple tel que

V_{K} ⊗_{K} \overline{K} = ⨁_{λ∈𝔥^{∗}} L_{λ}^{n(λ)} ∈ O_{𝔭},

où les n(λ) sont des entiers presque tous nuls. Alors il existe un poids dominant λ ∈ 𝔥^{∗} de V = V_{K} ⊗_{K} \overline{K} tel que V_{K} = L_{Γ^{∗}λ,K}.

Remarque 4.12. On verra au paragraphe suivant que l’on obtient ainsi tous les 𝔤_{K}-modules simples de O_{𝔭}^{K}.

Démonstration. On a montré à la proposition 4.9 que, sous les hypothèses choisies dans le théorème 4.11, (V_{K})^{𝔲_{K}(I_{0})} est un 𝔪_{K}(I_{0})-module simple de dimension finie. Il existe donc, d’après [11, 7.2], un poids dominant λ ∈ 𝔥^{∗} tel que (V_{K})^{𝔲_{K}(I_{0})} =^{K} V_{λ}. Il suffit alors de reprendre la construction ci-dessus pour conclure la démonstration.

4.5. Dans ce paragraphe, nous allons adapter à la catégorie O_{𝔭}^{K} la notion de suite de composition locale qui existe dans la catégorie O_{𝔟}.

Théorème 4.13. Soient V_{K} un 𝔤_{K}-module de la catégorie O_{𝔭}^{K} et λ ∈ 𝔥^{∗} ; on note Γ^{∗}λ = {λ_{1}, …, λ_{k}}. Alors V_{K} admet une suite de composition locale en Γ^{∗}λ dans O_{𝔭}^{K}, c’est-à-dire : il existe une filtration de V_{K} par une suite de sous𝔤_{K}-modules (V_{K}^{i})_{i=0,... ,n}, V_{K} = V_{K}^{0} ⊃ V_{K}^{1} ⊃ ⋯ ⊃ V_{K}^{n} = (0), et un sous-ensemble I ⊂ {0, …, n} tels que :

(i) si i ∈ I, alors il existe μ_{i} ∈ 𝔥^{∗} et j ∈ {1 …, k} tel que μ_{i} ≥ λ_{j} et V_{K}^{i}/V_{K}^{i+1} ≅ L_{Γ^{∗}μ_{i},K} ;

(ii) si i ∉ I, alors pour tout j ∈ {1 …, k} on a (V_{K}^{i}/V_{K}^{i+1})_{μ} = (0) ∀μ ≥ λ_{j}.

Corollaire 4.14. Les objets simples de la catégorie O_{𝔭}^{K} sont les 𝔤_{K}-modules simples L_{Γ^{∗}μ,K} construits en 4.4. En particulier, le théorème 0.1 est démontré.

Démonstration. Soient V = V_{K} ⊗_{K} \overline{K} et λ ∈ 𝔥^{∗}. Comme V ∈ O_{𝔭}, on peut trouver une suite de composition pour V qui soit locale en λ_{1}, …, λ_{k}. Soient V^{0}, …, V^{n} des sous-𝔤-modules de V et un sous-ensemble I ⊂ {0, …, n} tels que V = V^{0} ⊃ V^{1} ⊃ ⋯ ⊃ V^{n} = (0) et (i) si i ∈ I, ∃μ_{i} ∈ 𝔥^{∗} et j ∈ {1, …, k} tels que μ_{i} ≥ λ_{j} et V^{i}/V^{i+1} ≅ L_{μ_{i}} ;

(ii) si i ∉ I, ∀j ∈ {1, …, k} on a (V^{i}/V^{i+1})_{μ} = (0) ∀μ ≥ λ_{j}.

On va construire par récurrence sur n, à partir de cette suite de composition locale, une filtration de V définie sur K.

Premier pas: V = V^{0} ⊃ V^{1} sous-𝔤-module. On va étudier séparément les deux cas qui peuvent se présenter. (ii) Si 0 ∉ I, alors pour tout j ∈ {1, …, k} on a (V/V^{1})_{μ} = (0) ∀μ ≥ λ_{j}. On pose V^{1,γ} = γV^{1} pour γ ∈ Γ. D’après le corollaire 2.17, on a alors, pour γ ∈ Γ et w_{γ} ∈ W_{0} tel que w_{γ}γ = γ^{∗}, V^{1,γ} = w_{γ}γV^{1} = γ^{∗}V^{1}. On pose W^{1} = ⋂_{γ∈Γ} V^{1,γ} ; c’est un sous-𝔤-module de V défini sur K. On a le morphisme injectif de (𝔤, Γ)- modules :

V/W^{1} ↪ ∏_{γ∈Γ}(V/V^{1,γ})

Comme pour tout j ∈ {1, …, k} on a (V/V^{1})_{μ} = (0) ∀μ ≥ λ_{j}, alors pour tout j ∈ {1, ⋯, k} on a (V/V^{1,γ})_{μ} = (0) ∀μ ≥ γ^{∗}λ_{j}. On a donc (V/W^{1})_{μ} = (0) pour tout j ∈ {1, …, k} et tout μ ≥ λ_{j}.

(i) Si 0 ∈ I, alors il existe μ_{0} ∈ 𝔥^{∗} et j ∈ {1, …, k} tel que μ_{0} ≥ λ_{j} et V/V^{1} ≅ L_{μ_{0}} . Le lemme suivant va nous permettre de travailler sur une extension finie du corps K et donc avec un groupe de Galois fini.

Lemme 4.15. Sous les hypothèses du cas (i), le sous-𝔤-module V^{1} est défini sur une extension galoisienne finie L de K.

Démonstration. On peut supposer qu’il existe un corps L, extension galoisienne finie de K, qui vérifie les points suivants : ▪ 𝔤 est déployée sur L (proposition 1.2) ; ▪ v_{μ_{0}} , représentant dans V du vecteur de plus haut poids μ_{0} dans V/V^{1}, est défini sur L ; ▪ le 𝔤-module de dimension finie V^{1} ∩ V_{μ_{0}} est défini sur L. On a V_{μ_{0}} = Lv_{μ_{0}} ⊕ (V^{1} ∩ V_{μ_{0}}) ; soit W le plus grand sous-𝔤-module de V qui vérifie (∗) W ∩ V_{μ_{0}} ⊂ V^{1} ∩ V_{μ_{0}} . W existe car c’est la somme de tous les sous-𝔤-modules de V qui vérifient (∗). De plus W = V^{1}. En effet V^{1} vérifie (∗), et si V^{1} ⊂ W, alors V/W est un quotient non nul de V/V^{1} = L_{μ_{0}} qui est simple et donc V^{1} = W. On en déduit alors que V^{1} = W est défini sur le corps L.

On pose, comme dans le cas (ii), W^{1} = ⋂_{γ∈Γ} V^{1,γ}, mais on travaille cette fois avec une intersection finie. En effet, si γ ∈ Gal(\overline{K}/L), on a V^{1,γ} = V^{1}. Le sous-𝔤-module W^{1} de V est défini sur K. On a le morphisme injectif de (𝔤, Γ)-modules :

V/W^{1} ↪ ∏_{γ∈ΓK}(V/V^{1,γ})

où Γ_{K} = Gal(L/K) est un groupe fini. On a aussi l’isomorphisme de 𝔤-modules :

X = ∏_{γ∈ΓK}(V/V^{1,γ}) ≃ ∏_{γ∈ΓK} L_{γμ_{0},γ𝔟^{+}}

où L_{λ,𝔟_{1}^{+}} désigne le 𝔤-module de Verma irréductible de plus haut poids λ associé au couple (𝔥, 𝔟_{1}^{+}) d’une sous-algèbre de Cartan 𝔥 de 𝔤 contenue dans une sous-algèbre de Borel positive 𝔟_{1}^{+} de 𝔤 (Rappel : L_{λ} = L_{λ,𝔟^{+}}). On note X_{K} = X^{Γ}. D’après la proposition 4.9 (i), X_{K}^{𝔲(I_{0})} est un 𝔪_{K}(I_{0})-module semi-simple de dimension finie, on peut donc l’écrire X_{K}^{𝔲(I_{0})} = ∏_{i=1}^{n}(^{K}V_{ξ_{i}}) [11, 7.2]. En utilisant [11, 7.4], on obtient :

(∗)  X_{K}^{𝔲(I_{0})} ⊗_{K} \overline{K} = ∏_{i=1}^{n}(⨁_{ξ∈Γ^{∗}ξ_{i}} L_{ξ,I_{0}}^{t_{i}})

où t_{i}^{2} est le degré d’un corps gauche D_{ξ_{i}} sur son centre K_{ξ_{i}} = {x ∈ L | γx = x ∀γ ∈ Γ_{K} tel que γ^{∗}ξ_{i} = ξ_{i}\}. D’autre part : X_{K} ⊗_{K} \overline{K} = ∏_{γ∈ΓK} L_{γμ_{0},γ𝔟^{+}}, donc on a :

X_{K}^{𝔲(I_{0})} ⊗_{K} \overline{K} = ∏_{γ∈ΓK}(L_{γμ_{0},γ𝔟^{+}})^{𝔲(I_{0})} = ∏_{γ∈ΓK} L_{γμ_{0},γ𝔟^{+},I_{0}}

Or L_{γμ_{0},γ𝔟^{+},I_{0}} = L_{wγμ_{0},wγ𝔟^{+},I_{0}} pour tout w ∈ W_{0}, donc

X_{K}^{𝔲(I_{0})} ⊗_{K} \overline{K} = ∏_{γ∈ΓK} L_{w_{γ}γμ_{0},w_{γ}γ𝔟^{+},I_{0}}

où w_{γ} est l’unique élément de W_{0} tel que w_{γ}γ𝔟^{+} = γ^{∗}𝔟^{+} = 𝔟^{+}. On obtient alors :

(∗∗)  X_{K}^{𝔲(I_{0})} ⊗_{K} \overline{K} = ∏_{γ∈ΓK} L_{γ^{∗}μ_{0},I_{0}}.

En identifiant les formules (∗) et (∗∗), on trouve que ξ_{i} ∈ Γ^{∗}μ_{0} pour tout i = 1, …, n et que tous les t_{i} sont égaux. On pose t_{i} = d_{0} ∀i = 1, …, n. (∗) s’écrit alors X_{K}^{𝔲(I_{0})} ⊗_{K} \overline{K} = (⨁_{μ∈Γ^{∗}μ_{0}} L_{μ,I_{0}}^{d_{0}})^{n}, avec d_{0}^{2} = [D_{μ_{0}} : K_{μ_{0}}]. Le groupe de Galois de L sur K_{μ_{0}} est Γ_{μ_{0}}^{K} = {γ ∈ Γ_{K} | γ^{∗}μ_{0} = μ_{0}} et on a |Γ_{μ_{0}}^{K}| = [L : K_{μ_{0}}] = m_{0}d_{0}, multiple entier de d_{0} puisque L est un corps neutralisant de D_{μ_{0}} . En comparant les dimensions de (X_{K}^{𝔲(I_{0})} ⊗_{K} \overline{K})_{μ_{0}} dans (∗) et (∗∗), on obtient que n = m_{0}. Donc on a X_{K}^{𝔲(I_{0})} ⊗_{K} \overline{K} = (⨁_{μ∈Γ^{∗}μ_{0}} L_{μ,I_{0}}^{d_{0}})^{m_{0}} . Enfin, en utilisant la proposition 4.9 (ii), on obtient :

X_{K} ⊗_{K} \overline{K} = (⨁_{μ∈Γ^{∗}μ_{0}} L_{μ}^{d_{0}})^{m_{0}}

On a alors V/W^{1} ↪ (⨁_{μ∈Γ^{∗}μ_{0}} L_{μ}^{d_{0}})^{m_{0}} , sous-(𝔤, Γ)-module. Or L_{Γ^{∗}μ_{0}} = ⨁_{μ∈Γ^{∗}μ_{0}} L_{μ}^{d_{0}} est un (𝔤, Γ)-module irréductible, donc V/W^{1} = (L_{Γ^{∗}μ_{0}})^{n_{0}} , avec 1 ≤ n_{0} ≤ m_{0} et μ_{0} ≥ λ_{j} pour un j ∈ {1, …, k}. En posant V_{K}^{1} = (W^{1})^{Γ}, on a V_{K}/V_{K}^{1} ≅ (L_{Γ^{∗}μ_{0},K})^{n_{0}} . On obtient les n_{0} premiers sous-𝔤_{K}-modules de V_{K} de la filtration cherchée par un raffinement évident.

Récurrence : On suppose construit V_{K}^{l}, l ≤ n, le l-ième sous-𝔤_{K}-module de V_{K} de la filtration cherchée. On considère W^{l} = V_{K}^{l} ⊗_{K} \overline{K}, 𝔤-module défini sur K. Ce 𝔤-module admet une filtration par des sous-𝔤-modules : W^{l} = X^{l} ⊃ X^{l+1} ⊃ ⋯ ⊃ X^{n} = (0) où X^{j} = W^{l} ∩ V^{j} pour j = l, …, n. Comme X^{j}/X^{j+1} ⊂ V^{j}/V^{j+1}, cette filtration de W^{l} admet les propriétés d’une suite de composition locale en λ_{1}, …, λ_{k}, avec un terme de moins. On peut donc appliquer la récurrence pour construire W^{l+1} et donc V_{K}^{l+1}. On obtient alors une suite de composition pour V_{K} locale en Γ^{∗}λ dans la catégorie O_{𝔭}^{K}.

Remarque 4.16. Les modules L_{Γ^{∗}μ_{i},K} qui interviennent dans le théorème 4.13 sont dans O_{𝔭}^{K} (et même dans O_{𝔭,𝔱}^{K}), on a donc, d’après la proposition 4.8, μ_{i}(α_{j}^{∨}) ∈ ℕ ∀j ∈ I_{0}.

Remarque 4.17. Si on suppose, dans le théorème 4.13, que V_{K} est dans la catégorie O_{𝔭,𝔱}^{K}, on peut modifier la démonstration précédente pour trouver une filtration de V_{K} par des sous-𝔤_{K}-modules et un sous-ensemble I′ ⊂ {1, …, n} vérifiant les conditions suivantes :

(i)’ si i ∈ I′, alors il existe μ_{i} ∈ 𝔥^{∗} tel que μ′_{i} ≥ λ′ et V_{K}^{i}/V_{K}^{i+1} ≅ L_{Γ^{∗}μ_{i},K} ;

(ii)’ si i ∉ I′, alors (V_{i}/V_{i+1})_{μ} = (0) pour tout μ tel que μ′ ≥ λ′.

On utilise les notations λ′ = λ |_{𝔱} pour λ ∈ 𝔥^{∗} et λ′_{1} ≥ λ′_{2} si λ′_{1} − λ′_{2} ∈ Q_{𝔱}^{+}(𝔭). Comme λ′_{1} = ⋯ = λ′_{k} = λ′ d’après [1, 2.7], (i)’ est moins forte que (i) (strictement) et (ii)’ est plus forte que (ii) (strictement).

Références

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[11] Tits, J., Représentations linéaires irréductibles d’un groupe réductif sur un corps quelconque, J. für die reine und angewandte Math. 248 (1971), 196–220.

Cécile Barlet-Mathieu Laboratoire Géométrie, Topologie et Algèbre Université Montpellier 2 Place Eugène Bataillon 34095 Montpellier Cedex 5 France mathieu@math.univ-montp2.fr

Received December 13, 2002 and in final form March 3, 2003