Journal of Lie Theory Volume 14 (2004) 501–508 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 2004 Heldermann Verlag

Une courte démonstration de la formule de Campbell-Hausdorff

Loring W. Tu

Communicated by J. Faraut

Abstract. We give a simple proof of an algorithm for computing the terms of the Campbell-Hausdorff formula. 2000 AMS Subject Classification: Primary: 22E15; Secondary: 22E60

Soient G un groupe de Lie et 𝔤 = T_{1}G son algèbre de Lie, vue comme l’espace tangent à G en l’élément neutre 1. Alors il existe un voisinage V de 0 dans 𝔤 et un voisinage U de 1 dans G tels que la restriction de l’application exponentielle exp : V → U est un difféomorphisme. Son inverse U → V s’appelle le logarithme et s’écrit log. Si deux éléments A et B de 𝔤 sont suffisamment proches de l’origine, alors la formule de Campbell-Hausdorff donne l’expression de log(exp A exp B) en tant que série entière dans l’algèbre de Lie engendrée par A et B :

exp A exp B = exp (A + B + \frac{1}{2}[A, B] + \frac{1}{12} ([A, [A, B]] + [B, [B, A]]) + ⋯) .

(1)

Dans cette note nous donnons une démonstration simple d’un algorithme pour calculer les termes de la série (1). Cet algorithme est équivalent à celui de Hausdorff ([8], Eq. (25), p. 29), qui considère le problème d’un point de vue symbolique.

1. Des séries entières formelles

Nous écrivons exp X pour l’application exponentielle d’un groupe de Lie et e^{y} pour la série entière formelle

e^{y} = 1 + y + \frac{1}{2!}y^{2} + \frac{1}{3!}y^{3} + · · · .

La série de Todd et son inverse sont les séries entières formelles

td(y) = \frac{y}{1 − e^{−y}} = 1 + \frac{y}{2} + \frac{y^{2}}{12} − \frac{y^{4}}{720} + \frac{y^{6}}{30240} − \frac{y^{8}}{1209600} + \frac{y^{10}}{47900160} + ⋯,
td^{−1}(y) = \frac{1 − e^{−y}}{y} = 1 − \frac{1}{2!}y + \frac{1}{3!}y^{2} − · · · .

ISSN 0949–5932 / $2.50 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Heldermann Verlag

Puisqu’une série entière converge dans son disque de convergence, il existe un voisinage V′ ⊂ V de 0 dans 𝔤 tel que pour tout X ∈ V′ la série td(ad X) converge vers un élément de End(𝔤).

2. Transporter un champ de vecteurs de l’algèbre de Lie au groupe

L’application exp : V → U étant un difféomorphisme, elle transporte un champ de vecteurs C sur V vers un champ de vecteurs C^{∗} sur U défini par :

(C^{∗})_{g} = exp_{∗,X}(C_{X})  (2)

pour X ∈ V ⊂ 𝔤 et g = exp X ∈ U.

Puisque 𝔤 est un espace vectoriel, en chaque point X ∈ 𝔤 on a une identification canonique de l’espace tangent : T_{X}𝔤 ≃ 𝔤. Par conséquent, un champ de vecteurs C sur le voisinage V′ de 0 n’est autre qu’une application V′ → 𝔤. Ainsi, si on fixe un élément B dans 𝔤, alors pour X ∈ V′ l’application X ↦ (td ad X)B est un champ de vecteurs sur V′. On désigne par B̄ le champ de vecteurs ((td ad X)B)^{∗} sur U′ := exp(V′). Pour g ∈ U′ et X = log g, ce champ de vecteurs a pour expression

B̄_{g} = exp_{∗,X}((td ad X)B).

3. Énoncé du résultat

Soit B ∈ 𝔤. Comme B̄ est un champ de vecteurs sur U′, il opère sur les fonctions sur U′. Donc, pour f ∈ C^{∞}(U′), l’expression

(eB̄f)(g) := ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}(B̄^{k}f)(g)

a un sens si la série converge.

Proposition 3.1. (Formule de Campbell-Hausdorff) Soient A, B suffisamment proches de 0 dans 𝔤. Alors la série

(eB̄ log)(exp A) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}(B̄^{k} log)(exp A)

converge et

log(exp A exp B) = (eB̄ log)(exp A) = (e^{((td ad X)B)^{∗}} log)(exp A).  (3)

4. Trois règles pour calculer avec C^{∗}

Pour appliquer la proposition 3.1 on n’a besoin que de trois règles simples, démontrées plus loin dans cette note. La définition de C^{∗} est particulièrement adaptée à la fonction log.

Proposition 4.1. Soit C un champ de vecteurs sur V′ ⊂ 𝔤, autrement dit, une application V′ → 𝔤.

i) Le champ de vecteur C^{∗} vérifie C^{∗} log = C ∘ log sur U′.

ii) Si B : U′ → 𝔤 est une fonction constante, alors C^{∗}B = 0.

iii) (Formule du produit) Si Y, Z : U′ → 𝔤 sont lisses, alors

C^{∗}[Y, Z] = [C^{∗}Y, Z] + [Y, C^{∗}Z].

5. Exemple de calcul

Avant de démontrer les propositions 3.1 et 4.1, calculons les termes de degré inférieur ou égal à 4 dans la formule de Campbell-Hausdorff.

Soient X un élément proche de 0 dans 𝔤 et w_{X} = (td ad X)B dans 𝔤. Alors

w_{X} = (td ad X)B = (1 + \frac{1}{2} ad X + \frac{1}{12}(ad X)^{2} − \frac{1}{720}(ad X)^{4} + ⋯)B

= B + \frac{1}{2}[X, B] + \frac{1}{12}[X, [X, B]] − \frac{1}{720}[X, [X, [X, [X, B]]]] + · · · .

Pour alléger les notations, nous écrirons dans la suite L = log. Avec cette notation, [L, B] est une fonction lisse U′ → 𝔤 dont la valeur en g ∈ U′ est [L, B](g) = [log g, B]. En appliquant les trois règles de la proposition 4.1, on a, modulo les termes de degré strictement supérieur à 4 en L et B,

w^{∗}L = w ∘ L ≈ B + \frac{1}{2}[L, B] + \frac{1}{12}[L, [L, B]],
(w^{∗})^{2}L = w^{∗}(w^{∗}L) ≈ w^{∗}B + \frac{1}{2}w^{∗}[L, B] + \frac{1}{12}w^{∗}[L, [L, B]]

≈ \frac{1}{2}[w ∘ L, B] + \frac{1}{12}[w ∘ L, [L, B]] + \frac{1}{12}[L, [w ∘ L, B]]

≈ \frac{1}{4}[[L, B], B] + \frac{1}{24}[[L, [L, B]], B] + \frac{1}{12}[B, [L, B]] + \frac{1}{24}[L, [[L, B], B]]

≈ \frac{1}{6}[B, [B, L]] + \frac{1}{12}[B, [L, [B, L]]],

(w^{∗})^{3}L = \frac{1}{6}[B, [B, w ∘ L]] + \frac{1}{12}[B, [w ∘ L, [B, L]]] + \frac{1}{12}[B, [L, [B, w ∘ L]]] + ⋯

= \frac{1}{12}[B, [B, [L, B]]] + \frac{1}{12}[B, [B, [B, L]]] + ⋯ = 0 + · · · .

Par suite, d’après le proposition 3.1,

log(exp A exp B) = (e^{w^{∗}}L)(exp A)

= (1 + w^{∗} + \frac{1}{2!}(w^{∗})^{2} + \frac{1}{3!}(w^{∗})^{3} + ⋯) L|_{exp A}

= L + (B + \frac{1}{2}[L, B] + \frac{1}{12}[L, [L, B]])

+ \frac{1}{2!} (\frac{1}{6}[B, [B, L]] + \frac{1}{12}[B, [L, [B, L]]]) + \frac{1}{3!} · 0 + ⋯ |_{exp A}

= A + B + \frac{1}{2}[A, B] + \frac{1}{12}[A, [A, B]] + \frac{1}{12}[B, [B, A]] + \frac{1}{24}[B, [A, [B, A]]] + · · · .

La comparaison de ce calcul avec le calcul dans ([7], pp. 6.20–6.22) montre que l’algorithme proposé dans la proposition 3.1 apparaît plus rapide que la formule de Dynkin, car ce calcul comporte moins de termes et aussi moins d’annulations.

6. Les outils

La démonstration de la proposition 3.1 repose sur deux résultats standard : le théorème de Taylor et la dérivée de l’application exponentielle.

Si B ∈ 𝔤, alors le champ de vecteurs invariant à gauche B̃ sur G est :

B̃_{g} = (ℓ_{g})_{∗}B, pour g ∈ G.

Théorème de Taylor ([13], Prop. 5.15, p. 125). Soient f une fonction analytique au voisinage d’un point g ∈ U ⊂ G, et B un élément de l’algèbre de Lie 𝔤 suffisamment proche de 0. Alors

f(g exp B) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}(B̃^{k}f)(g) = (eB̃f)(g).  (4)

Dérivée de l’application exponentielle (voir par exemple [7], §6.4, ou [9], p. 67). Soient X ∈ V ⊂ 𝔤, puis C ∈ T_{X}𝔤 identifié à 𝔤. Si g = exp X, alors

exp_{∗,X}(C) = (ℓ_{g})_{∗}((td^{−1} ad X)(C)).  (5)

7. Comparaison des champs de vecteurs

De (5), on déduit une relation entre les deux champs de vecteurs B̃ et B̄ définis par un élément B de 𝔤.

Proposition 7.1. Pour tout B ∈ 𝔤, les champs de vecteurs B̃ et B̄ sur U′ sont égaux.

Démonstration. Pour g ∈ U′, on écrit g = exp X. Alors

B̄_{g} = exp_{∗,X}((td ad X)B)  (par définition de B̄)
= (ℓ_{g})_{∗}(td^{−1} ad X)(td ad X)B  (d’après l’équation (5))
= (ℓ_{g})_{∗}B = B̃_{g}  (par définition de B̃)

8. Démonstration de la formule et des règles de calcul

Démonstration de la prop. 3.1. Dans le théorème de Taylor (équation (4)), on prend pour f la fonction log et pour g le point exp A. Alors

f(g exp B) = log(exp A exp B) = (eB̃ log)(exp A) = (eB̄ log)(exp A)

= ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}(B̄^{k} log)(exp A),

puisque B̃ = B̄. La convergence de la série est garantie par le théorème de Taylor.

Démonstration de la prop. 4.1.

i) Soit g = exp X dans U′. Alors X = log g et

(C^{∗} log)(g) = (C^{∗})_{g} log = (exp_{∗,X} C_{X})(log) = C_{X}(log ∘ exp)
= C_{X}(id) = C_{X} = (C ∘ log)(g).

ii) est clair.

iii) On choisit une base E_{1}, …, E_{n} pour 𝔤, puis on écrit

[E_{i}, E_{j}] = ∑ c_{ij}^{k}E_{k}.

Si Y = ∑ y_{i}E_{i} et Z = ∑ z_{j}E_{j}, alors

C^{∗}[Y, Z] = C^{∗} ∑ c_{ij}^{k}y_{i}z_{j}E_{k}
= ∑ c_{ij}^{k}(C^{∗}y_{i})z_{j}E_{k} + ∑ c_{ij}^{k}y_{i}(C^{∗}z_{j})E_{k}
= [C^{∗}Y, Z] + [Y, C^{∗}Z],

puisque C^{∗} est un champ de vecteurs sur U′.

9. Finitude de l’algorithme

Conservons les notations ci-dessus, à savoir A et B sont deux éléments proches de 0 dans 𝔤, w_{X} = (td ad X)B pour X ∈ V′, et L = log. D’après la proposition 3.1,

log(exp A exp B) = (1 + w^{∗} + \frac{1}{2!}(w^{∗})^{2} + \frac{1}{3!}(w^{∗})^{3} + ⋯) L|_{exp A} .  (6)

Comme l’expression à droite est une somme infinie, pour qu’elle donne un algorithme effectif, il faut montrer qu’on peut calculer les termes de degré n en un nombre fini d’étapes.

Soit Y un monôme de Lie en L et en B. On désigne par deg Y et deg_{B} Y le degré total de Y et le degré de Y en B respectivement. Par exemple,

deg[L, [B, [L, [B, L]]]] = 5 et deg_{B}[L, [B, [L, [B, L]]]] = 2.

Si Y est un polynôme de Lie homogène, c’est-à-dire dont tous les termes sont de même degré, alors le degré de Y est bien défini.

Lemme 9.1. Soient W un monôme de Lie en X et B, et Y un monôme de Lie en L et B. Supposons W^{∗}Y ≠ 0. Alors W^{∗}Y est un polynôme de Lie homogène en L et B, et homogène en B. De plus,

i) deg W^{∗}Y = deg W + deg Y − 1,

ii) deg_{B} W^{∗}Y = deg_{B} W + deg_{B} Y .

Démonstration. i) Effectuons une récurrence sur le degré de Y . Lorsque deg Y = 1, on a Y = B ou Y = L. Si Y = B, alors W^{∗}Y = 0. Si Y = L, alors

deg W^{∗}L = deg W ∘ L = deg W = deg W + deg L − 1,

ce qui démontre i) pour deg Y = 1.

Maintenant supposons que i) est valable pour W^{∗}Y et W^{∗}Z. Alors

W^{∗}[Y, Z] = [W^{∗}Y, Z] + [Y, W^{∗}Z].

D’après l’hypothèse de récurrence,

deg[W^{∗}Y, Z] = deg W^{∗}Y + deg Z

= deg W + deg Y − 1 + deg Z = deg W + deg[Y, Z] − 1,

et de même pour [Y, W^{∗}Z]. Donc,

deg W^{∗}[Y, Z] = deg W + deg[Y, Z] − 1.

ii) La démonstration est analogue à celle de i), en effectuant une récurrence sur deg(Y) (et non sur deg_{B} Y ).

Lemme 9.2. Soit w = (td ad X)B ∈ 𝔤. Alors le degré en B de chaque terme dans (w^{∗})^{k}L est égal à k.

Démonstration. Le lemme est évident pour k = 1. D’après le lemme 9.1 et par récurrence sur k, nous avons

deg_{B}(w^{∗})^{k}L = deg_{B}(w^{∗}((w^{∗})^{k−1}L))
= deg_{B} w + deg_{B}((w^{∗})^{k−1}L)
= 1 + (k − 1) = k.

Lemme 9.3. Pour k ≥ 2, le degré total (en L et B) de chaque terme dans (w^{∗})^{k}L est au moins k + 1.

Démonstration. D’après le lemme 2, le degré en B de chaque terme dans (w^{∗})^{k}L est k. Si le degré total est k, alors il n’y a pas de L dans ce terme. Pour k ≥ 2, un monôme de Lie en B sans facteurs de L est 0. Donc, le degré total de chaque terme dans (w^{∗})^{k}L est au moins k + 1.

Il résulte du lemme 9.3 que les termes de degré n de la série de Campbell-Hausdorff (6) sont les termes de degré n de la somme finie

(1 + w^{∗} + \frac{1}{2!}(w^{∗})^{2} + ⋯ \frac{1}{(n − 1)!}(w^{∗})^{n−1}) L|_{exp A} .  (7)

D’après le lemme 9.1(i), pour calculer les termes de degré n de (w^{∗})^{k}L, on peut supprimer tous les termes de degré > n + 1 de w^{∗}. Donc chaque terme (w^{∗})^{k}L dans la somme (7) a un nombre fini de termes de degré n. Ceci montre que (7) calcule les termes de degré n de la série de Hausdorff en un nombre fini d’étapes.

Remerciements. Je remercie l’Institut Henri Poincaré et l’Institut de Mathématiques de Jussieu pour leur hospitalité pendant la période 2001–03, ainsi que Raoul Bott et Paul Gérardin pour maintes discussions fructueuses. Paul Gérardin a lu attentivement plusieurs versions de ce texte et j’ai profité de ses commentaires astucieux. Je tiens aussi à remercier le rapporteur pour des suggestions qui ont amélioré cet article.

Références

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Loring W. Tu Department of Mathematics Tufts University Medford, MA 02155-7049 USA loring.tu@tufts.edu

Received May 13, 2003 and in final form November 22, 2003